Prawdopodobieństwo — Zdarzenia niezależne
Wszystko o zdarzeniach niezależnych: definicja, kryteria oraz wskazówki do zadań.
Teoria
Co to znaczy: zdarzenia niezależne?
Zdarzenia \(A\) i \(B\) nazywamy (w sensie klasycznym)
niezależnymi, gdy zajście jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia drugiego.
W praktyce oznacza to, że informacja „zaszło \(A\)” nie zmienia szans na „zajdzie \(B\)”
i odwrotnie.
Najważniejsze kryterium niezależności
Zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
\[
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).
\]
To jest najczęściej używane kryterium w zadaniach maturalnych.
Równoważne zapisy (gdy \(P(B)\gt0\))
Jeżeli \(P(B)\gt0\), to niezależność można rozpoznać także po tym, że:
\[
P(A\mid B)=P(A).
\]
Analogicznie, gdy \(P(A)\gt0\):
\[
P(B\mid A)=P(B).
\]
Uwaga praktyczna
- Niezależność to nie to samo co rozłączność.
- Zdarzenia rozłączne, gdy \(A\cap B=\varnothing\), przy dodatnich prawdopodobieństwach zwykle są zależne, bo wtedy \(P(A\cap B)=0\).
- W zadaniach z kartami: wygodnie liczyć \(P(A)\), \(P(B)\) i \(P(A\cap B)\) metodą zliczania.
Schemat działania w zadaniach
- Wyznacz \(P(A)\) i \(P(B)\).
- Wyznacz \(P(A\cap B)\) (najczęściej przez zliczenie przypadków sprzyjających).
- Sprawdź, czy zachodzi równość \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
- Jeśli tak — zdarzenia są niezależne, jeśli nie — nie są niezależne.
Zadania
Zadanie 1
Losujemy jedną kartę z talii 52 kart.
Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana karta jest figurą,
zaś \(B\) oznacza zdarzenie, że wylosowana karta jest młodsza od siódemki.
Czy zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne?
Zadanie 2
Losujemy jedną kartę z talii 52 kart.
Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana karta jest starsza od piątki,
zaś \(B\) oznacza zdarzenie, że wylosowana karta jest koloru czerwonego.
Czy zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne?
Video lekcja
Wideolekcja dostępna w abonamencie PREMIUM.
Masz już aktywny dostęp? Zaloguj się, aby obejrzeć materiał.
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
