Symetralna odcinka - video lekcja

Geometria analityczna - video lekcje

W filmie przedstawiono dwie definicje symetralnej:

• Intuicyjna / geometryczna: jest to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek (dzieląca go na połowę).
• Formalna / matematyczna: jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od obu końców odcinka jest taka sama \((|AX|=|BX|)\).

Celem jest wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\), gdzie punkty mają współrzędne: \(A(-1,-2)\) oraz \(B(3,2)\).

Ta metoda bazuje na prostopadłości i środku odcinka:

• Etap 1: Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\). W przykładzie otrzymano równanie \(y=x-1\).
• Etap 2: Obliczenie współrzędnych środka odcinka \(S\). Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną współrzędnych końców, wyznaczono punkt \(S(1,0)\).
• Etap 3: Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(AB\) i przechodzącej przez punkt \(S\). Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi \(1\), współczynnik symetralnej musi wynosić \(-1\).

Wynik: równanie kierunkowe to \(y=-x+1\), a równanie ogólne: \(x+y-1=0\).

Metoda ta opiera się na definicji punktów równo oddalonych od końców odcinka:

• Po podstawieniu współrzędnych punktów \(A\) i \(B\) oraz zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, składniki \(x^2\) oraz \(y^2\) zawsze się redukują.
• Metoda ta prowadzi bezpośrednio do tego samego wyniku: \(x+y-1=0\).

• Metoda 2 jest znacznie krótsza (zajmuje kilka linijek), jednak gotowy wzór na symetralną nie występuje w tablicach maturalnych.
• Mimo braku gotowego wzoru można go łatwo wyprowadzić, korzystając z dostępnych w tablicach wzorów na odległość dwóch punktów.
• Jeśli po rozpisaniu wzorów skróconego mnożenia w Metodzie 2 nie nastąpi redukcja kwadratów, oznacza to błąd w obliczeniach.