Geometria analityczna
Równanie okręgu w układzie współrzędnych — postać kanoniczna i ogólna
Kluczowe treści z filmu (MathJax)
1. Definicja i postać kanoniczna okręgu
- Definicja: okrąg to zbiór punktów płaszczyzny równo oddalonych od środka \(S(a,b)\) o stałą odległość \(r\) (promień).
- Postać kanoniczna: \(\,(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\)
- Środek w początku układu: jeśli \(S=(0,0)\), to \(\,x^2+y^2=r^2.\)
- Odczytywanie środka: z postaci \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) odczytujemy \(S(a,b)\) — pamiętaj o „zmianie znaków” względem tych widocznych w nawiasach.
2. Postać ogólna okręgu
- Po rozwinięciu i uporządkowaniu otrzymujemy postać ogólną: \[ x^2+y^2-2ax-2by+c=0. \]
- Współczynnik \(c\) spełnia zależność: \(\;c=a^2+b^2-r^2.\)
3. Warunek istnienia okręgu
- Aby równanie w postaci ogólnej opisywało okrąg, musi zachodzić: \[ a^2+b^2-c>0. \]
- Promień liczymy ze wzoru: \(\;r=\sqrt{a^2+b^2-c}.\) Jeśli wyrażenie pod pierwiastkiem jest \(\le 0\), okrąg nie istnieje (brak dodatniego promienia).
4. Zamiana postaci ogólnej na kanoniczną — dwa sposoby
- Sposób 1 (ze wzorów): porównujesz współczynniki przy \(x\) i \(y\) z postacią \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\), wyznaczasz \(a\) i \(b\) (dzieląc przez \(-2\)), a następnie liczysz \(r\).
- Sposób 2 (dopełnianie do kwadratu): grupujesz wyrazy z \(x\) oraz z \(y\) i „dopełniasz” do pełnych kwadratów, by szybko otrzymać postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
5. Praktyczne wskazówki
- W zadaniach typu „sprawdź, czy równanie przedstawia okrąg” zawsze weryfikuj warunek \(r^2>0\) (czyli dodatniość promienia).
- Jeśli zadanie dotyczy konkretnej figury (np. okrąg opisany na trójkącie), zwykle wiadomo, że okrąg istnieje — sprzeczność w obliczeniach najczęściej oznacza błąd rachunkowy.
Video lekcja dostępna w abonamencie PREMIUM Zaloguj się
Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM 👉 Abonament PREMIUM
