Trygonometria — video lekcje przygotowane przez moich uczniów
1 Zadania
Zad. 1
Naszkicuj wykres funkcji \(f(x)=[\sin x]\), gdzie \(x\in\left\langle-2\pi,\frac{5}{2}\pi\right\rangle\).
Zad. 2
Naszkicuj wykres funkcji \(f(x)=\tg\!\left(\frac{\pi}{4}\cdot [x]\right)\), wiedząc, że dziedzina funkcji \(f\)
zawiera się w przedziale \(\langle -4,6\rangle\).
Zad. 3
Wiadomo, że \(\cos 3x=-\frac{11}{16}\) oraz \(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\).
Korzystając ze wzoru \(\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x\) wyznacz \(\cos x\).
Video
2 Trygonometria z gwiazdką — równanie trygonometryczne (część 1)
Zadanie
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\in\mathbb{R}\), dla których równanie:
\[2\cdot 25^{|\sin x|}-5^{|\sin x|}+m+3=0\]
ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
W zadaniu można zastosować podstawienie pomocnicze \(t=5^{|\sin x|}\), gdzie \(t\in\langle 1,5\rangle\).
Video
3 Trygonometria z gwiazdką — równanie trygonometryczne (część 2)
Zadanie
Rozwiąż równanie trygonometryczne:
\[\cos 2x+\cos x=\sin 2x+\sin x\]
wiedząc dodatkowo, że \(x\in\left\langle 0,\frac{\pi}{2}\right\rangle\).
Rozwiązanie opiera się na zastosowaniu wzorów na sumę sinusów oraz sumę cosinusów, a także wzorów redukcyjnych.
Video
4 Trygonometria z gwiazdką — zadanie z parametrem
Zadanie
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\in\mathbb{R}\), dla których równanie:
\[(\sin x+1)\big(\sin^2 x-\sin x+2m+1\big)=0\]
ma dokładnie trzy rozwiązania w przedziale \(\langle 0,2\pi\rangle\).
W filmie wprowadza się podstawienie \(t=\sin x\), co prowadzi do postaci:
\((t+1)(t^2-t+2m+1)=0\). Jedno rozwiązanie (\(t=-1\)) daje w tym przedziale
dokładnie \(x=\frac{3\pi}{2}\), a pozostałe dwa rozwiązania muszą pochodzić z drugiego czynnika.
