Zadania tekstowe na układy równań prowadzących do równań wymiernych i kwadratowych - video lekcja

1Zadanie 1

Za wynajęcie autobusu na wycieczkę uczniowie klasy IA mieli zapłacić 1800 złotych. Ponieważ 4 uczniów zrezygnowało z tej wycieczki, każdy z pozostałych uczniów zapłacił o 15 zł więcej. Oblicz, ilu uczniów jest w klasie IA.

Pokaż rozwiązanie

Zadanie 1

Zadanie 1

Za wynajęcie autobusu na wycieczkę uczniowie klasy pierwszej A mieli zapłacić 1800 złotych. Ponieważ czterech uczniów zrezygnowało z tej wycieczki, każdy z pozostałych uczniów zapłacił o 15 złotych więcej. Oblicz, ilu uczniów jest w klasie pierwszej A.

Krok 1: Analiza i zdefiniowanie niewiadomych

Zaczynamy od ustalenia dwóch niewiadomych, które pozwolą nam opisać sytuację w klasie.

$x$ – liczba uczniów, którzy początkowo planowali wycieczkę.

$y$ – planowana początkowo składka na jednego ucznia.

Sytuacja Liczba uczniów Składka na osobę Łączny koszt autokaru

Planowana $x$ $y$ $x \cdot y = 1800$

Rzeczywista $x - 4$ $y + 15$ $(x - 4) \cdot (y + 15) = 1800$

Krok 2: Ułożenie układu równań

Na podstawie powyższej tabeli tworzymy układ równań, który łączy obie sytuacje:

1. $x \cdot y = 1800$

2. $(x - 4) \cdot (y + 15) = 1800$

Komentarz: Pierwsze równanie opisuje sytuację planowaną, a drugie uwzględnia rezygnację 4 osób ($x - 4$) i wzrost składki o 15 zł ($y + 15$). Koszt autokaru pozostaje stały i wynosi 1800 zł.

Krok 3: Rozwiązywanie układu metodą podstawiania

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$, aby otrzymać równanie z jedną niewiadomą $x$, której szukamy w zadaniu:

$y = \frac{1800}{x}$

Teraz podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania:

$(x - 4) \cdot \left(\frac{1800}{x} + 15\right) = 1800$

Krok 4: Przekształcenia i mnożenie nawiasów

Mnożymy każdy element pierwszego nawiasu przez każdy element drugiego:

$x \cdot \frac{1800}{x} + 15x - 4 \cdot \frac{1800}{x} - 4 \cdot 15 = 1800$

Po uproszczeniu ($x$ się skraca):

$1800 + 15x - \frac{7200}{x} - 60 = 1800$

Komentarz: Zauważ, że 1800 występuje po obu stronach, więc się redukuje. Aby pozbyć się ułamka, mnożymy całe równanie przez $x$:

$15x^2 - 7200 - 60x = 0$

Krok 5: Równanie kwadratowe i Delta

Uporządkujmy równanie i podzielmy je przez 15, aby operować na mniejszych liczbach:

$x^2 - 4x - 480 = 0$

Teraz obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej ($\Delta$):

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936$.

$\sqrt{\Delta} = 44$.

Krok 6: Wyznaczenie liczby uczniów

Obliczamy dwa możliwe rozwiązania dla $x$:

1. $x_1 = \frac{4 - 44}{2} = -20$

2. $x_2 = \frac{4 + 44}{2} = 24$

Komentarz: Wynik -20 musimy odrzucić, ponieważ liczba uczniów w klasie nie może być ujemna. Wartość 24 spełnia warunki zadania i jest naszą odpowiedzią.

Odpowiedź: W klasie pierwszej A jest 24 uczniów.

Praktyczne wskazówki:

Wybór niewiadomych: Możesz wyznaczyć z pierwszego równania zarówno $x$, jak i $y$, ale wyznaczenie $y$ (składki) zazwyczaj prowadzi do wygodniejszego równania z niewiadomą $x$, której szukamy w pytaniu.

Upraszczanie: Zanim zaczniesz liczyć deltę, sprawdź, czy możesz podzielić całe równanie przez wspólną liczbę (np. przez 15), co znacznie ułatwi obliczenia.

Weryfikacja: Zawsze sprawdź, czy otrzymany wynik jest logiczny w kontekście treści zadania (np. czy jest liczbą dodatnią i całkowitą).

Sytuacja	Liczba uczniów	Składka na osobę	Łączny koszt autokaru
Planowana	$x$	$y$	$x \cdot y = 1800$
Rzeczywista	$x - 4$	$y + 15$	$(x - 4) \cdot (y + 15) = 1800$

2Zadanie 2

Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Pokaż rozwiązanie

Zadanie 2

Zadanie 2

Pewien turysta pokonał trasę 112 kilometrów, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

1. Analiza danych w tabeli

W tym zadaniu trasę (112 km) możemy rozpatrywać w kategoriach "prędkości" dziennej (liczba kilometrów na dzień) oraz czasu (liczba dni). Definiujemy niewiadome: $x$ jako liczbę kilometrów pokonywanych dziennie oraz $y$ jako czas trwania wędrówki w dniach.

Sytuacja Liczba kilometrów dziennie ($x$) Czas w dniach ($y$) Łączna trasa (równanie)

Pierwotny plan $x$ $y$ $x \cdot y = 112$

Gdyby miał więcej czasu $x - 12$ $y + 3$ $(x - 12) \cdot (y + 3) = 112$

Komentarz: Pierwsze równanie to nasza baza – turysta przechodzi $x$ kilometrów każdego dnia przez $y$ dni, co daje łącznie 112 km. Druga sytuacja to analiza "co by było gdyby": czas rośnie o 3 dni ($y + 3$), ale dzienna dawka kilometrów spada o 12 ($x - 12$).

2. Tworzenie układu równań

1. $x \cdot y = 112$

2. $(x - 12) \cdot (y + 3) = 112$

3. Rozwiązanie krok po kroku z komentarzami

Krok 1: Wyznaczenie niewiadomej

$y = \frac{112}{x}$

Komentarz: Wyznaczamy $y$, ponieważ w pytaniu proszą o obliczenie $x$ (liczby kilometrów dziennie). Dzięki temu od razu otrzymamy szukaną wartość.

Krok 2: Podstawienie i wymnożenie nawiasów

$(x - 12)\cdot\left(\frac{112}{x}+3\right)=112$

$112+3x-\frac{1344}{x}-36=112$

Krok 3: Redukcja i przekształcenie do równania kwadratowego

$3x^2-36x-1344=0$

$x^2-12x-448=0$

Komentarz: Zawsze warto sprawdzić, czy współczynniki są podzielne przez tę samą liczbę. Tutaj podział przez 3 znacznie upraszcza obliczenia delty.

Krok 4: Obliczenie Delty i pierwiastków

$\Delta = 1936$

$\sqrt{\Delta} = 44$

$x_1 = -16$ (odrzucamy)

$x_2 = 28$

4. Podsumowanie i odpowiedź

Odpowiedź: Turysta przechodził dziennie 28 kilometrów.

Sytuacja	Liczba kilometrów dziennie ($x$)	Czas w dniach ($y$)	Łączna trasa (równanie)
Pierwotny plan	$x$	$y$	$x \cdot y = 112$
Gdyby miał więcej czasu	$x - 12$	$y + 3$	$(x - 12) \cdot (y + 3) = 112$

3Zadanie 3

Paweł przeczytał książkę liczącą 720 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 15 dni wcześniej. Ile dni czytał tą książkę ?

🔒 Rozwiązanie PREMIUM