Wzajemne położenie dwóch okręgów — podsumowanie
Zestaw definicji, warunków, algorytmu postępowania, twierdzeń pomocniczych oraz treści zadań (zapis w notacji MathJax/LaTeX).
1 Definicje i warunki położenia okręgów
Oznaczenia: \(|O_1O_2|\) — odległość między środkami okręgów, \(r_1, r_2\) — promienie.
2 Algorytm postępowania
3 Twierdzenia i własności pomocnicze
4 Treści zadań
Zadanie 1 Określ wzajemne położenie okręgów
Wiadomo, że \(|O_1O_2| = 8\). Wyznacz położenie dla promieni:
- a) \(r_1=1,\ r_2=9\)
- b) \(r_1=5,\ r_2=3\)
- c) \(r_1=\sqrt{5},\ r_2=3\sqrt{5}\)
- d) \(r_1=5,\ r_2=13\)
- e) \(r_1=3+\sqrt{8},\ r_2=5\)
- f) \(r_1=8+\sqrt{2},\ r_2=4+\sqrt{5}\)
Zadanie 2 Okręgi styczne zewnętrznie — wyznacz promienie
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, więc \(|O_1O_2|=r_1+r_2\). Odległość między środkami wynosi \(12\).
Wyznacz promienie, wiedząc że:
- a) \(r_1=r_2+2\)
- b) \(r_1=\frac{1}{3}r_2\) (równoważnie: \(r_2=3r_1\))
Zadanie 3 Trzy okręgi styczne zewnętrznie
Trzy okręgi o promieniu \(r\) są styczne zewnętrznie każdy do dwóch pozostałych.
Wyznacz długości boków i miary kątów trójkąta utworzonego przez punkty styczności.
Zadanie 4 Parametr \(k\) i położenie okręgów
Dane są dwa okręgi: \(O_1(A,\ r_1=2)\) oraz \(O_2(B,\ r_2=3)\). Odległość \(|AB|=k\).
Zbadaj wzajemne położenie tych okręgów w zależności od parametru \(k \in \langle 0,+\infty)\).
Zadanie 5 Styczna wewnętrzna i punkt przecięcia
Dane są dwa okręgi o promieniach \(r_1=8\) i \(r_2=12\). Odcinek łączący środki \(|AB|=25\)
przecina się ze styczną wewnętrzną w punkcie \(C\). Oblicz odległość \(|CB|=x\).
Zadanie 6 Sieczna równoległa do \(O_1O_2\)
Przez punkt wspólny dwóch przecinających się okręgów o środkach \(O_1\) i \(O_2\) poprowadzono sieczną
równoległą do prostej \(O_1O_2\). Sieczna przecina okręgi w punktach \(A\) i \(B\). Wykaż, że:
\[|O_1O_2|=\frac{1}{2}|AB|\]
