Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym - video lekcja
Wyrażenia algebraiczne - video lekcje Odsłon: 6945

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

video lekcja

Najważniejsze własności

Potęga o wykładniku ujemnym
Jeśli \(a\neq 0\) i \(n\in\mathbb{N}\), to:
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \]
Dodatkowo (często potrzebne w zadaniach):
\[ \left(\frac{p}{q}\right)^{-n}=\left(\frac{q}{p}\right)^{n}\quad (p\neq 0,\ q\neq 0), \qquad a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} \]

Poniżej znajdziesz zadania z rozwiązaniami oraz lekcję wideo.

Zad. 1. Oblicz
  1. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\)
    Rozwiązanie

    \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}. \]

  2. \((2{,}8)^{-4}\cdot\left(\frac{5}{14}\right)^{-4}=\)
    Rozwiązanie

    \[ (2{,}8)^{-4}\cdot\left(\frac{5}{14}\right)^{-4} =\left(2{,}8\cdot\frac{5}{14}\right)^{-4}. \]

    \[ 2{,}8=\frac{14}{5}\ \Rightarrow\ 2{,}8\cdot\frac{5}{14}=\frac{14}{5}\cdot\frac{5}{14}=1. \]

    \[ 1^{-4}=1. \]

  3. \(\left(5\frac{1}{3}\right)^{3}\cdot(0{,}75)^{-3}=\)
    Rozwiązanie

    \[ 5\frac{1}{3}=\frac{16}{3},\qquad 0{,}75=\frac{3}{4}. \]

    \[ \left(\frac{16}{3}\right)^3\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{-3} =\left(\frac{16}{3}\right)^3\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^3 =\left(\frac{64}{9}\right)^3. \]

    \[ \left(\frac{64}{9}\right)^3=\frac{64^3}{9^3}=\frac{262144}{729}. \]

  4. \(\left(1\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot\left(1\frac{2}{3}\right)^{-8}=\)
    Rozwiązanie

    \[ \left(1\frac{2}{3}\right)^{10}\cdot\left(1\frac{2}{3}\right)^{-8} =\left(1\frac{2}{3}\right)^{10-8}=\left(1\frac{2}{3}\right)^2. \]

    \[ 1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\ \Rightarrow\ \left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}. \]

  5. \(\left(1\frac{5}{11}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{4}{11}\right)^{-2}=\)
    Rozwiązanie

    \[ 1\frac{5}{11}=\frac{16}{11}. \]

    \[ \left(\frac{16}{11}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{4}{11}\right)^{-2} =\left(\frac{16}{11}\cdot\frac{4}{11}\right)^{-2} =\left(\frac{64}{121}\right)^{-2}. \]

    \[ \left(\frac{64}{121}\right)^{-2}=\left(\frac{121}{64}\right)^2=\frac{14641}{4096}. \]

  6. \[ \frac{\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-(0{,}25)^{-1}\right]^{-2}} {(0{,}375)^{-1}-(0{,}6)^{-1}} = \]
    Rozwiązanie

    \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2,\qquad (0{,}25)^{-1}=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}=4. \]

    \[ \Big[2-4\Big]^{-2}=(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}. \]

    \[ (0{,}375)^{-1}=\left(\frac{3}{8}\right)^{-1}=\frac{8}{3},\qquad (0{,}6)^{-1}=\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{3}. \]

    \[ \frac{8}{3}-\frac{5}{3}=1. \]

    \[ \frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{1}{4}. \]

Zad. 2. Wykaż, że poniższe wyrażenia są równe
\[ \left[\left(4^{-1}+4^{-1}\right)^{-1}+4^{-1}\right]^{-1} \quad \text{oraz} \quad \left\{\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\right]^{-1} +\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\right\}^{-1} \]
Rozwiązanie

\[ 4^{-1}=\frac{1}{4}\ \Rightarrow\ 4^{-1}+4^{-1}=\frac{1}{2} \ \Rightarrow\ \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2. \]

\[ \left[2+\frac{1}{4}\right]^{-1}=\left(\frac{9}{4}\right)^{-1}=\frac{4}{9}. \]

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\ \Rightarrow\ 2+2=4\ \Rightarrow\ 4^{-1}=\frac{1}{4}. \]

\[ \left[\frac{1}{4}+2\right]^{-1}=\left(\frac{9}{4}\right)^{-1}=\frac{4}{9}. \]

\[ \text{Oba wyrażenia mają wartość } \frac{4}{9},\ \text{więc są równe.} \]

Zad. 3. Wykonaj działania
\[ \left(x^{-1}-2x^{-2}\right)\cdot\left(2x^{-5}-3x^{-2}+x\right) \]
Rozwiązanie

\[ (x^{-1}-2x^{-2})(2x^{-5}-3x^{-2}+x) =x^{-1}(2x^{-5}-3x^{-2}+x)-2x^{-2}(2x^{-5}-3x^{-2}+x). \]

\[ x^{-1}(2x^{-5})=2x^{-6},\quad x^{-1}(-3x^{-2})=-3x^{-3},\quad x^{-1}\cdot x=1. \]

\[ -2x^{-2}(2x^{-5})=-4x^{-7},\quad -2x^{-2}(-3x^{-2})=6x^{-4},\quad -2x^{-2}\cdot x=-2x^{-1}. \]

\[ \Rightarrow\ -4x^{-7}+2x^{-6}+6x^{-4}-3x^{-3}-2x^{-1}+1. \]

Video lekcja

Related Articles

Potęgi i logarytmy - powtórzenie - video lekcja

Logarytmy - wprowadzenie - video lekcja

Logarytmy - zastosowanie twierdzeń - video lekcja

logo 2022 joomla footer