Logika matematyczna
Prawa de Morgana
Zaprzeczenie alternatywy i koniunkcji, zaprzeczenie implikacji oraz kwantyfikatorów.
Poniżej znajdują się same treści zadań. Rozwiązania i omówienie są na filmie.
Mini teoria – zaprzeczenia
\[
\neg(p\vee q)\Leftrightarrow(\neg p\wedge\neg q)
\]
\[
\neg(p\wedge q)\Leftrightarrow(\neg p\vee\neg q)
\]
\[
\neg(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow(p\wedge\neg q)
\]
\[
\neg(p\Leftrightarrow q)\Leftrightarrow
(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge q)
\]
\[
\neg(\forall x\in A\;p(x))\Leftrightarrow\exists x\in A\;\neg p(x)
\]
\[
\neg(\exists x\in A\;p(x))\Leftrightarrow\forall x\in A\;\neg p(x)
\]
Zadania
Podaj zaprzeczenia następujących wyrażeń.
AAlternatywa i koniunkcja
a)
\[(x>1\vee x=5)\]
b)
\[\left(\frac12<1\vee\sqrt2\in\mathbb{C}\right)\]
c)
\[\left(2\text{ nie jest dzielnikiem }7\vee-2^2=-4\right)\]
d)
\[(2>1\wedge3\in\mathbb{N})\]
e)
\[\left(\frac12<\frac13\wedge2\mid8\right)\]
BImplikacja i równoważność
f)
\[\left(2\in\mathbb{N}\Rightarrow\frac12<1\right)\]
g)
\[\left(2>4\Rightarrow\sqrt2\in\mathbb{C}\right)\]
h)
\[\left(-2^2=-4\Rightarrow-3^2=-9\right)\]
i)
\[(1<2\wedge5=1)\vee(2\in\mathbb{C}\Rightarrow5>7)\]
j)
\[\left(-2^2=-4\Rightarrow2<5\right)\Leftrightarrow(x>2\Rightarrow x<5)\]
k)
\[(-3<-1)\Rightarrow\left(-\frac13>-\frac12\wedge2^2\ne5\right)\]
CKwantyfikatory
l)
\[\forall x\in\mathbb{R}\;(x^2=5)\]
m)
\[\exists x\in\mathbb{N}\;(x>1\vee x=1)\]
n)
\[\forall x\in\mathbb{R}\;(x\in\mathbb{C}\Rightarrow x>1)\]
o)
\[\forall x\in\mathbb{R}\exists y\in\mathbb{R}\;(x^2>5)\]
p)
\[\forall x\in\mathbb{R}\forall y\in\mathbb{R}\exists z\in\mathbb{R}\;(x>5\vee y<2z)\]
Video lekcja
Rozwiązania znajdują się na filmie
