Równania wielomianowe - pierwiastki całkowite, wymierne i schemat Hornera - poziom rozszerzony
Wielomiany - video lekcje

Równania wielomianowe: pierwiastki całkowite, wymierne i schemat Hornera

Poziom rozszerzony. W tej lekcji pokazujemy, jak szukać pierwiastków wielomianu, gdy zawodzą prostsze metody, takie jak grupowanie wyrazów lub bezpośrednie zastosowanie wzorów skróconego mnożenia.

1 Teoria wprowadzająca

Pierwiastki całkowite wielomianu
Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to pierwiastek ten musi być dzielnikiem wyrazu wolnego.

Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych

Dla wielomianu \[ W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 \] każdy pierwiastek całkowity \(r\) jest dzielnikiem liczby \(a_0\).

Oznacza to, że nie sprawdzamy dowolnych liczb, lecz jedynie dodatnie i ujemne dzielniki wyrazu wolnego.

Pierwiastki wymierne wielomianu
Jeśli wielomian nie ma pierwiastków całkowitych, możemy szukać pierwiastków wymiernych w postaci:
\[ x=\frac{p}{q}. \]

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

Jeżeli ułamek nieskracalny \(\frac{p}{q}\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych, to:

  • \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\),
  • \(q\) jest dzielnikiem współczynnika \(a_n\) przy najwyższej potędze.

Kandydatów na pierwiastki wielomianu zapisujemy ze znakami dodatnimi i ujemnymi, a następnie sprawdzamy ich wartości w wielomianie.

Twierdzenie Bézouta
Wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-r\) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba \(r\) jest pierwiastkiem tego wielomianu.
\[ W(r)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad W(x)=(x-r)\cdot Q(x). \]

Jeżeli po zastosowaniu schematu Hornera reszta jest równa zero, to znaleziony kandydat rzeczywiście jest pierwiastkiem wielomianu.

Schemat Hornera
Schemat Hornera pozwala szybko:
  • obliczyć wartość wielomianu dla wybranej liczby,
  • sprawdzić, czy dana liczba jest pierwiastkiem,
  • podzielić wielomian przez dwumian \(x-r\),
  • obniżyć stopień wielomianu.

Jest to wygodniejsza metoda niż klasyczne dzielenie pisemne wielomianów.

2 Jak rozwiązywać takie równania?

Proponowany tok postępowania
1

Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę

Równanie powinno mieć postać \(W(x)=0\).

2

Sprawdź prostsze metody

Poszukaj wspólnego czynnika, możliwości grupowania wyrazów albo zastosowania wzorów skróconego mnożenia.

3

Wyznacz kandydatów na pierwiastki

Najpierw sprawdź dzielniki wyrazu wolnego, a w razie potrzeby także kandydatów wymiernych \(\frac{p}{q}\).

4

Zastosuj schemat Hornera

Sprawdź kandydata i podziel wielomian przez \(x-r\).

5

Rozwiąż równanie niższego stopnia

Po obniżeniu stopnia zastosuj odpowiednią metodę: grupowanie, wzory skróconego mnożenia, deltę lub ponownie schemat Hornera.

3 Przykłady wprowadzające z video lekcji

Przykład 1 Pierwiastki całkowite

Szukamy pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego.

\[ x^{3}-2x^{2}-x+2=0 \]
Przykład 2 Pierwiastki wymierne

Wykorzystujemy kandydatów w postaci \(\frac{p}{q}\).

\[ 2x^{2}-5x+2=0 \]
Przykład 3 Schemat Hornera

Po znalezieniu pierwiastka dzielimy wielomian przez odpowiedni dwumian liniowy.

\[ x^{3}-4x^{2}-x+4=0 \]

4 Zadania główne omawiane w video lekcji

Zadanie 1 Równanie stopnia trzeciego
\[ x^{3}+12x^{2}+44x+48=0 \]
Zadanie 2 Schemat Hornera zamiast trudnego grupowania

Grupowanie wyrazów nie prowadzi tu od razu do wygodnej postaci iloczynowej, dlatego korzystamy ze schematu Hornera.

\[ 3x^{3}-7x^{2}-7x+3=0 \]
Zadanie 3 Brak wyrazu z \(x^{2}\)

W tabeli Hornera należy pamiętać o wpisaniu współczynnika \(0\) przy brakującej potędze.

\[ x^{3}-13x-12=0 \]
Zadanie 4 Przenoszenie wyrazów na jedną stronę

Najpierw doprowadzamy równanie do postaci \(W(x)=0\).

\[ x^{3}-9x^{2}+23x=15 \]
Zadanie 5 Równanie stopnia czwartego

Równanie analizujemy dwiema metodami: dwukrotnym zastosowaniem schematu Hornera oraz metodą grupowania wyrazów.

\[ 3x^{4}+2x^{3}-24x-16=0 \]

Ważna uwaga strategiczna

Przy wielomianach stopnia wyższego niż trzeci warto najpierw sprawdzić, czy nie zadziała metoda grupowania wyrazów. Może ona być znacznie szybsza niż wielokrotne stosowanie schematu Hornera.

Video lekcja dostępna w abonamencie PREMIUM Zaloguj się

Dalsza część dostępna jest dla Użytkowników PREMIUM  👉 Abonament PREMIUM

Related Articles

Równania wielomianowe – metoda podstawiania nowej zmiennej – poziom rozszerzony

Równania wielomianowe – metoda grupowania wyrazów – poziom rozszerzony

Równania wielomianowe - poziom podstawowy

logo 2022 joomla footer