„Kiedyś to była matura…”
- chyba każdy z dzisiejszych maturzystów to
słyszał czy to od swoich rodziców, czy nauczycieli. A zatem jaka była ta matura?
Czy była trudniejsza czy łatwiejsza? Czy była lepsza czy była gorsza? Postaram
się przybliżyć Wam ten temat prezentując poniżej przegląd wybranych matur z
matematyki od roku 1920. Zachęcam nie tylko do czytania, ale przede wszystkim do
rozwiązania tych zadań, bo tylko wtedy będziecie mieli właściwy pogląd na poziom
zadań. Dodam, że dawniej nie można było używać kalkulatorów i tablic ze wzorami.
Można było używać jedynie tablic z wartościami funkcji trygonometrycznych, czy
wartości logarytmów. Sprawdź zatem czy zdałbyś, np. przedwojenną maturę z
matematyki.
Matura z matematyki 1920 r.
(źródło: Sprawozdanie Dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Karola
Marcinkowskiego w Poznaniu: za 1-sze dziesięciolecie zakładu w niepodległej i
wolnej ojczyźnie: 1919-1929)
Zadanie
1
Żelazna kula wydrążona o ciężarze 30 kg zanurza
się w wodzie do połowy. Obliczyć grubość ściany kuli, przyjmując ciężar właściwy
żelaza s=7,7.
Zadanie 2
Suma sześciu pierwszych wyrazów postępu geometrycznego jest 189, a suma
następnych sześciu 12096. Jaki to postęp? /wyjaśnienie: postęp dzisiaj to
inaczej ciąg/
Zadanie 3
Rozwiązać równania:
5sinx + 3siny = 4
3(5sinx) – 2(3siny) = 5
Zadanie 4
Przez punkty:
Przeprowadzić koło (napisać jego równanie), a następnie obliczyć kąt, jaki
tworzą ze sobą styczne poprowadzone w punktach A i B.
Matura z matematyki 1929 r.
(źródło: Sprawozdanie Dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego
w Poznaniu: za 1-sze dziesięciolecie zakładu w niepodległej i wolnej ojczyźnie:
1919-1929)
Zadanie 1
Przekątna prostokąta wynosi 85m, powiększając każdy bok o 2m zwiększamy jego
pole o 230 m2. Obliczyć długość boków.
Zadanie 2
Trzy koła o promieniach r1=1cm, r2=2cm, r3=3cm
stykają się zewnętrznie. Obliczyć pole między temi kołami zawarte.
Zadanie 3
Znaleźć warunek dla parametru m, aby oba pierwiastki równania:
były mniejsze od liczby 4.
Zadanie 4
Jak wielki winien być kąt środkowy należący do odcinka kuli, aby powierzchnia
tego odcinka równała się powierzchni wielkiego koła kuli?
Matura z matematyki 1932 r.
Zadanie 1
W półkolu wystawionym na średnicy AB = 2R = 30.72 m poprowadzono cięciwę CD
równoległą do AB. Łuk CD = 2α = 72o36' przepołowiono w punkcie E i poprowadzono
cięciwy EC i ED. Znaleźć objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta CED dokoła
średnicy AB.
Zadanie 2
Trzy liczby dodatnie tworzą postęp geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodać
3,to postęp zamieni się na arytmetyczny. Jeżeli do trzeciego wyrazu nowego
postępu dodać 54,to utworzy się znów postęp geometryczny. Znaleźć te liczby.
Zadanie 3
W kole o promieniu r poprowadzono styczną MN i równoległą do niej cięciwę AB;
rzut cięciwy na styczną oznaczono przez A'B'. a) Wyrazić przekątną prostokąta
ABB'A' jako funkcję odległości cięciwy od stycznej.
b) Zbadać jak zmienia się długość przekątnej, gdy zmienia się odległość cięciwy
od stycznej.
Zadanie 4
Z punktu A(12,9) poprowadzono styczne do paraboli y2 = 6x. Wyznaczyć równanie
okręgu, przechodzącego przez punkty styczności i wierzchołek paraboli.
Zadanie 5
Parabola y = x2 − 5x + m jest styczna do osi x−ów i do prostej y = 2x − n.
Wyznaczyć punkt styczności paraboli z prostą.
Matura z matematyki 1960 r.
(Katowice)
Zadanie 1
Rozwiązać równanie
Zadanie 2
W trapezie opisanym na okręgu o promieniu r jeden z kątów jest prosty, kąt zaś
ostry równa się
.
Zbudować ten trapez, a następnie obliczyć jego pole. Wykonać obliczenia dla r=0,523dm,
.
Zadanie 3
Romb o boku a i kącie ostrym
obraca się dokoła prostej, przechodzącej przez
wierzchołek kąta ostrego i prostopadłej do jednego z przyległych boków. Znaleźć
objętość bryły otrzymanej z obrotu. Wykonać obliczenia dla a=23,45cm,
.
Matura z matematyki 1976 r.
(Warszawa)
Zadanie
1
W kulę o promieniu R wpisano walec o możliwie największej objętości. Wyznaczyć
stosunek objętości kuli do objętości tego walca.
Zadanie
2
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym
, długość podstawy
równa się 
i
miara kąta
równa się
.
Na bokach
tego
trójkąta obrano odpowiednio takie punkty 
i 
,
że
i
. Obliczyć długość odcinka 
i
zbadać, dla jakiej wartości
spełniony jest warunek
Zadanie 3
Dane jest równanie z niewiadomą x:
, gdzie
. Dla jakich wartości
równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste o jednakowych znakach?
Zadanie
4
Na egzamin przygotowano zestaw 45 pytań, z których zdający losuje 4. Uczeń
otrzymuje ocenę bardzo dobrą za poprawną odpowiedź na 4 pytania; ocenę dobrą za
poprawną odpowiedź na 3 pytania; a ocenę dostateczną za poprawną odpowiedź na 2
pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania oceny bardzo dobrej, a jakie
oceny co najmniej dostatecznej, jeśli uczeń umie odpowiedzieć na
pytań z zestawu?
Zadanie
5
Dany jest zbiór trójkątów o wspólnym wierzchołku
.
Boki tych trójkątów przeciwległe wierzchołkowi A zawierają się w prostej o
równaniu
i każdy z nich ma długość 4. Napisać równanie krzywej, która jest zbiorem
środków okręgów opisanych na tych trójkątach.
Matura z matematyki 1980 r.
(Warszawa)
Zadanie
1
Zbadaj przebieg zmienności funkcji 
i naszkicuj jej wykres.
Zadanie
2
Określ równaniem zbiór środków wszystkich okręgów stycznych zewnętrznie do
okręgu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach 
, 
, 
oraz stycznych do osi OY. Podaj
geometryczną interpretację rozwiązania.
Zadanie 3
Rozwiąż równanie:
Zadanie
4
Na płaszczyźnie danych jest siedem punktów, z których żadne trzv są
współliniowe. Kreślimy trzy różne odcinki o końcach w tych punktach. Zakładając,
że wszystkie rezultaty są jednakowo prawdopodobne oblicz prawdopodobieństwo
tego, że wykreślone trzy odcinki utworzą trójkąt.
Zadanie
5
W trapezie ABCD krótsza podstawa DC ma długość b, zaś podstawa AB długość a. Na
przedłużeniu podstawy DC zaznaczono punkt X taki, że prosta AX dzieli trapez na
części o równych polach. Oblicz 
.
Matura z matematyki 1991 r.
(Warszawa)
Zadanie 1
Zbadaj przebieg zmienności funkcji
, gdzie
i naszkicuj jej wykres.
Określ liczbę pierwiastków równania
,
,
w zależności od parametru
.
Zadanie 2
Wyznacz równanie zbioru środków wszystkich okręgów stycznych wewnętrznie do
okręgu
i do prostej
. Podaj interpretację geometryczną rozwiązania.
Zadanie 3
Rozwiąż nierówność
Zadanie 4
W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a
przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości
boków tego trapezu wiedząc, że jego pole jest równe
.
Zadanie 5
Z pudełka zawierającego tylko cztery kule białe i dwie czarne losujemy kolejno
bez zwracania trzy kule. Następnie rzucamy kostką do gry tyle razy, ile jest kul
białych wśród trzech wylosowanych. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co
najmniej jeden raz sześciu oczek.
