MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Całka oznaczona

Całka oznaczona


 

Niech będzie dana funkcja f(X) ciągła i nieujemna w przedziale <a,b>. Oznaczamy przez P(x) pole figury ABB1A1 ograniczonej krzywą y=f(x), osią OX i prostymi prostopadłymi do OX w punktach a i .

Twierdzenie Newtona –Leibniza:

Funkcja P(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale <a, b>, tzn.

 ,

 

Pole P(x) figury ABB1A1 wyrazi się wzorem:

, gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji y=f(x).

 

Z twierdzenia Newtona –Leibniza wynika, że dla każdej funkcji ciągłej i nieujemnej w przedziale istnieje funkcja pierwotna. Niech funkcja f(x) będzie określona i ciągła w przedziale  i niech F(x) będzie jakąkolwiek jej funkcja pierwotną w tym przedziale.

 


Definicja

Całką oznaczoną funkcji f(x) w przedziale  nazywamy różnicę F(b) - F(a) i oznaczamy symbolem

Mamy więc

 

Czytamy: całka od a do b f(x)dx równa się , f(x) nazywamy funkcją podcałkową, przedział przedziałem całkowania, a-dolną granicą całkowania, b - górną granicą całkowania.

 

Różnicę  oznacza się także symbolem 

Całka  jest polem obszaru ograniczonego krzywą o równaniu y=f(x) osią OX i prostymi x=a i x=b.

Jeśli w przedziale , to pole tego obszaru jest równe

Pole każdego obszaru można wyrazić całką oznaczoną:

 


 

Przykład 1.

Obliczyć całki oznaczone

a)     

b)       , ,

c)      

 

Przykład 2.

 

Rozwiązanie 1.

Wprowadzamy nową zmienną całkowania podstawiając  znajdujemy stąd ,  i nowe granice całkowania dla  i , dla  

 

Rozwiązanie 2.

Podstawiając mamy ,  dla ,  dla , więc

 

Rozwiązanie 3.

Podstawiając , otrzymamy , dla  , a dla  . Zatem

 podstawiając , dla a dla   więc

 

Przykład 3.

Obliczyć pola obszarów ograniczonych liniami.

1)      parabolą i prostą

2)      elipsą ,

Rozwiązanie 1.

Szukamy wspólnych rozwiązań obu danych równań  i , , , , .

Punkty przecięcia obu krzywych  , .

Szukane pole ANB równa się różnicy pół A1ANBB1 i A1ANB1. Pole S1 trapezu krzywoliniowego A1ANBB1  wyraża się całką.

Pole S2 trapezu

Wobec tego szukane pole wynosi

 

Rozwiązanie 2.

Osie układu współrzędnych pokrywają się z osiami symetrii danej elipsy i dzielą ja na cztery równe część. Czwarta część szukanego pola S, leżącą w pierwszej ćwiartce płaszczyzny, znajdujemy obliczając pole odpowiedniego trapezu krzywoliniowego przylegającego do osi OX.

Ponieważ elipsa jest dana równaniami parametrycznymi, więc całkę przekształcamy tak, aby zmienną całkowania był parametr T. Podstawiamy , . Ustalamy granice całkowania dla  i dla , ; wtedy

 


ZADANIA

 

Zadanie 1.

 Obliczyć całki oznaczone.

a)     

b)     

c)      

d)     

e)     

f)      

g)     

h)     

i)       

j)       

k)     

l)       

m)   

n)     

o)     

p)     

q)     

r)      

s)      

t)      

u)     

v)     

w)   

 

Zadanie 2.

Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi  i  i prostą x=1.

 

Zadanie 3.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami x=1, x=2, y=0, y=x2+1.

 

Zadanie 4.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą  i prostymi ( nie widać) , y=0, .

 

Zadanie 5.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą i osią OX.

 

Zadanie 6.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą  osią OX i prostymi  i x=2.

 

Zadanie 7.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego łukami parabol i.

 

Zadanie 8.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolami i.

 

Zadanie 9.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi i .

 

Zadanie 10.

Obliczyć pole jednego z obszarów ograniczonych liniami y=sinx, y=cos i osią OX.

 

Zadanie 11.

Znaleźć pola figur na które parabola dzieli koło .

 

Zadanie 12.

Parabola dzieli koło na dwie części. Znaleźć pola tych części.

 

 

Odpowiedzi do zadań

 

 


 


Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło