MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Całkowanie funkcji wymiernych

Całkowanie funkcji wymiernych


Niech A, B, a będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, p i q liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek p2-4q<0, zaś n liczbą naturalną.

Definicja.

Funkcję wymierną jednej zmiennej rzeczywistej x

           

(I)             (II)

Nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju (I), ułamkiem prostym drugiego rodzaju (II).

Na przykład funkcje wymierne

,            

Są ułamkami prostymi pierwszego rodzaju, natomiast funkcje wymierne:

,            

Są ułamkami prostymi drugiego rodzaju.

 

Twierdzenie

Funkcję wymierną można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy pewnego wielomianu oraz skończonej liczby ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.

 


 

Przykład 1.

Obliczyć całki

1)     

2)     

3)     

4)     

 

Rozwiązanie 1.

a)      Rozkładamy mianownik funkcji podcałkowej na czynniki

b)      Piszemy schemat rozkładu funkcji podcałkowej na sumę ułamków prostych

c)       Mnożąc obustronnie przez  otrzymujemy

 

d)      Przyrównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach x po obu stronach otrzymanej tożsamości, co prowadzi do układu równań

      

e)      Rozwiązujemy ten układ i otrzymujemy A=2,  B=1,  C=-10. Podstawiamy otrzymane wartości A, B, C, do schematu rozkładu.

Otrzymaną sumę ułamków prostych podstawiamy pod znak całki i każdy ze składników całkujemy osobno. Otrzymamy:

 

 

Rozwiązanie 2.

Z ułamka niewłaściwego występującego pod całką wyłączamy część całkowitą dzieląc licznik przez mianownik.

Otrzymany ułamek wymierny właściwy rozkładamy na sumę ułamków prostych:

a)     

b)     

c)      

d)     

e)     

Po podstawieniu pod znak całki i scałkowaniu otrzymujemy:

 

Rozwiązanie 3.

Ułamek właściwy pod całką przedstawiamy jako sumę ułamków prostych:

a)     

b)     

c)      

d)     

e)     

Po podstawieniu znaku całki i scałkowaniu otrzymujemy:

Całkę J1znajdujemy oddzielnie, wyrażenie  sprowadzamy do postaci kanonicznej:

    podstawiamy    stąd        

Ostatecznie otrzymujemy:

Ostatecznie otrzymujemy:

 

Rozwiązanie 4.

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste:

a)     

b)     

c)      

d)     

Podstawiając pod znak całki otrzymamy:

W trzeciej całce podstawiamy , wtedy

Ostatecznie otrzymamy:

 


ZADANIA

Zadanie1.

Obliczyć całki

a)     

b)     

c)      

d)     

e)     

f)      

g)     

h)     

i)       

j)       

k)     

l)       

m)   

n)     

o)     

 

Zadanie 2.        

a)     

b)     

c)      

d)     

e)     

f)      

g)     

h)     

i)       

j)       

k)     

l)       

m)   

n)     

 

Zadanie 3.

a)     

b)     

c)      

d)     

e)     

f)      

g)     

h)     

i)       

j)       

k)     

l)       

m)   

n)     

o)     

p)     

 

Odpowiedzi do zadań

 

Zadanie 1. 

a)     

b)     

c)      

d)     

Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło