MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Liczby rzeczywiste
Nowa strona 5

Liczby rzeczywiste


Liczby naturalne

Liczby całkowite

Liczby wymierne

Liczby niewymierne


 

Liczby naturalne

Są to najprostsze znane nam liczby, które stworzył człowiek do przeliczania przedmiotów, chociaż wybitny matematyk Leopold Kronecker (1823 - 1891) uważał, że „Bóg stworzył liczby naturalne, wszystko inne jest dziełem człowieka”.

Zbiór liczb naturalnych {0,1,2,3, …} oznaczamy przez Formula Zaliczanie zera do liczb naturalnych jest kwestią umowy. W literaturze częściej przyjmuje się, że ciąg liczb naturalnych zaczyna się od 1.
Zbiór {1,2,3, …} oznaczać będziemy Formula

  • W zbiorze liczb naturalnych i w każdym jego podzbiorze istnieje liczba najmniejsza.
  • Ciąg liczb naturalnych nie kończy się. Po każdej liczbie naturalnej Formula istnieje następna liczba Formula Wynika stąd, że liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Zbiór Formula to najprostsza nieskończoność matematyczna, najprostszy przykład zbioru nieskończonego.
  • W zbiorze Formula naturalnymi działaniami arytmetycznymi są dodawanie i mnożenie – wykonanie tych działań na liczbach naturalnych nie wyprowadza poza ten zbiór. Liczby Formula i Formulaelementami neutralnymi tych działań. Oznacza to, że dla dowolnego Formula zachodzą równości
    Formula czyli Formula to element neutralny mnożenia,
    Formula czyli Formula to element neutralny dodawania.
    Działanie Formula i Formula na dowolną liczbę naturalną niczego nie zmienia, pozostawia ją taką samą.
    Odejmowanie i dzielenie nie są działaniami w zbiorze Formula np.
    Formula
    Formula

<powrót>


Nowa strona 2

Liczby całkowite

 

Liczbami całkowitymi nazywamy liczby ciągu naturalnego 0, 1, 2, 3, ... i liczby ujemne - 1, - 2, - 3, ....
Standardowo - w literaturze matematycznej - zbiór liczb całkowitych oznacza się literą Formula, w polskiej szkole literą Formula.

Formula

Zbiór naturalnych Formula jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych Formula

nat.jpg


Elementy zbioru Formula można ustawić w ciąg nieskończony 0 , - 1, 1, - 2, 2, - 3, 3, ..., a więc jest to zbiór przeliczalny, takiej samej mocy jak zbiór Formula

Rozkład liczb całkowitych na osi liczbowej...

Podstawowe pojęcia i twierdzenia

  • Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych Formula i Formula jest liczbą całkowitą. W zbiorze Formula wykonalne są więc działania dodawania, odejmowania i mnożenia. Wynik dzielenia Formula przez Formula może być liczbą całkowitą albo niecałkowitą.

     
  • Jeżeli wynik dzielenia Formula przez Formula jest liczbą całkowitą Formulato mamy Formula Mówimy wtedy, że:
    - Formuladzieli się przez Formula lub jest wielokrotnością Formula
    - Formulajest dzielnikiem Formula
    Fakt ten zapisujemy krótko: Formula

     
  • Twierdzenie o dzieleniu z resztą
Dla dowolnych liczb całkowitych Formula i Formula istnieją jednoznacznie określone liczby całkowite Formula i Formula takie, że zachodzi
Formula

Liczbę Formulanazywamy ilorazem, a liczbę Formularesztą z dzielenia Formula przez Formula
Zwróć uwagę na to, że reszta jest liczbą nieujemną.

Np. niech Formula
Formula
Formula
Formula
 
  • Liczba parzysta Formula to taka, która dzieli się przez 2. W takim razie Formula jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci
    Formula gdzie Formula
    Zero jest liczbą parzystą.

    Liczba Formula jest nieparzysta, jeżeli przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1. Ma więc postać
    Formulagdzie Formula

    Liczby całkowite można rozbić na dwa zbiory (klasy):
    - { ..., - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, ...} - liczby parzyste, te które przy dzieleniu przez 2 dają resztę 0,
    - { ..., - 5, - 3, - 1, 0, 1, 3, 5, ...} - liczby nieparzyste, te które przy dzieleniu przez 2 dają resztę 1.
    Jest to rozbicie zbioru Formula na klasy reszt modulo 2. O liczbach tych klas mówimy, że przystają według modulo 2. Przyjmując jako moduł inną liczbę naturalną Formulamożemy rozbić zbiór Formula na klasy reszt według tego modułu.
    Np. dla m = 3:
    - { ..., - 6, - 3, 0 , 3, 6, ...} - liczby postaci Formula
    - { ..., - 5, - 2, 1, 4, 7, ...} - liczby postaci Formula
    - { ..., - 4, - 1, 2, 5, 8, ...} - liczby postaci Formula

     
  • Każda liczba całkowita dodatnia, która dzieli jednocześnie liczby całkowite Formula nazywa się ich wspólnym dzielnikiem. Największa z takich liczb nazywa się największym wspólnym dzielnikiem i oznacza się symbolem NWD(a, b, ..., k) lub (a, b, ..., k). Dalej będziemy zajmować się wspólnymi dzielnikami dwóch liczb.
    Zauważmy, że NWD(a, b) = NWD(|a|, b) = NWD(a, |b|) = NWD(|a|, |b|).

    Jeżeli NWD(a, b) = 1 to Formula i Formula nazywamy względnie pierwszymi, np. względnie pierwsze są pary 3 i 10, 21 i 8, ..., ale nie są względnie pierwsze 34 i 51, bo mają wspólny dzielnik równy 17. Oczywiście, jeżeli Formula to NWD(a, b) = b, np. NWD(6, 18) = 6.
     
    Jeżeli Formula to zbiór wspólnych dzielników liczb Formula i Formula pokrywa się ze zbiorem wspólnych dzielników liczb Formula i Formula W szczególności
    NWD(a, b) = NWD(b, c).

    Z tego twierdzenia korzysta procedura znajdowania NWD zwana algorytmem Euklidesa. Dla małych liczb można łatwo odgadnąć ich największy wspólny dzielnik.

    Np. NWD(12 ,8) = 4, NWD(6 ,15) = 3, NWD(21 ,8) = 1.

    Dla większych liczb można szukać NWD rozkładając dane liczby na czynniki.
    Np. FormulaFormula
    i na tej podstawie Formula

    Dla dużych liczb lepiej posłużyc się podanym wyżej twierdzeniem. Zacznijmy od ostatniego przykładu:
    NWD(360, 132) = NWD(132 , 96), bo Formula
    NWD(132 , 96) = NWD(96 , 36), bo Formula
    NWD(96 , 36) = NWD(36 , 24), bo Formula
    NWD(36 , 24) = NWD(24 , 12), bo Formula
    NWD(24 , 12)= 12, Formula

    Jeszcze jeden przykład. Znajdź NWD(- 548 ,244).
    NWD(- 548 ,244) = NWD(548 , 244) = NWD(244, 60), bo Formula
    NWD(244, 60) = NWD(60, 4), bo Formula
    NWD(60, 4) = 4, bo Formula

     
  • Liczbę całkowitą, która jest podzielna przez każdą z liczb naturalnych Formula nazywamy wspólną wielokrotnością tych liczb. Najmniejszą liczbą naturalną, która jest wspólną wielokrotnością Formulanazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczamy NWW(a, b, ..., k) lub [a, b, ..., k]. Dalej ograniczamy się do NWW dla dwóch liczb.

    Dla liczb Formula i Formula
    Formula

     
  • Pomiędzy NWD i NWW zachodzi następujący związek
     
    Dla dowolnych liczb całkowitych Formula i Formula
    Formula

    Znając NWD można znaleźć NWW lub odwrotnie.

     

Na jednej z wczesnych olimpia matematycznych było takie zadanie.

Zad. Znaleźć dwie liczby naturalne Formula i Formula mając ich największy wspólny podzielnik Formula oraz najmniejszą wspólną wielokrotność Formula Podać sposób poszukiwania rozwiązań w przypadku ogólnym.

Rozwiązanie.
Jeżeli zastosujemy podane twierdzenie, to rozwiązanie jest natychmiastowe. Szukane liczby są postaci Formula i Formula gdzie Formula i Formula nie mają różnych od 1 dzielników, są względem siebie pierwsze.

Według podanego twierdzenia Formula
Stąd Formula

Mamy więc dwa rozwiązania: Formula albo Formula
Szukanymi liczbami są Formulai Formula albo Formula i Formula

<powrót>


Liczby wymierne

 

Liczby wymierne – to liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera, czyli są to liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem {\mathbb Q}, w szkołach W. Wobec tego:

\mathbb Q = \left\{ {m \over n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}.

Do liczb wymiernych zaliczamy:

  • liczby naturalne

  • liczby całkowite

  • ułamki zwykłe

  • ułamki dziesiętne skończone

  • ułamki dziesiętne nieskończone okresowe

<powrót>


Liczby niewymierne


Liczby niewymierne to liczby, które nie są wymierne. Liczbę niewymierną nie można przedstawić w postaci ułamka, a rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Natknęli się na nie pitagorejczycy, rozważając długości przekątnych kwadratu.
Przykłady liczb niewymiernych: π, e, ...

Trochę historii
Istnienie liczb niewymiernych bardzo zaskoczyło pitagorejczyków, którzy uważali, że liczby są składnikami wszystkich bytów, których głównym zadaniem jest przedstawianie wymiarów wielkości geometrycznych. Stało się to za sprawą twierdzenia samego Pitagorasa i najważniejszej figury starożytnego świata - kwadratu.
W kwadracie o boku długości 1, korzystając z twierdzenia Pitagorasa - długość przekątnej musi być taka, aby jej kwadrat równał się 2. Pitagorejczycy udowodnili że nie istnieje żadna taka liczba wymierna, której kwadrat wynosi 2. A więc przekątna i bok kwadratu nie mają żadnej wspólnej miary. Są niewspółmierne. A mimo to jesteśmy w stanie je zobaczyć.

Wielkości geometryczne wymykające się numeryczności zostały określone mianem alogon - niewyrażalnych. Grecy rozwinęli teorię dotyczącą wyłącznie wielkości geometrycznych, ustalili proporcje między wielkościami, ale odmówili im prawa do miana liczb. Dopiero dwa tysiące lat później byty te przyłączyły się do grona liczb, a ta, której kwadrat wynosi 2 i od której wszystko się zaczęło została nazwana liczbą niewymierną - pierwiastkiem kwadratowym z 2.
 

Dowód (nie wprost) na to, że Pierwiastek z 2jest liczbą niewymierną:

Przypuśćmy, że Pierwiastek z 2jest liczbą wymierną.
Zatem daje się przedstawić w postaci nieskracalnego ułamka p przez q
gdzie oczywiście p i q są liczbami całkowitymi i q jest różne od 0.
Wówczas prawdziwa jest równość p2 przez q2 = 2

Równość tą można zapisać w postaci: pp = 2qq.

W rozkładzie p na czynniki pierwsze może występować lub też nie liczba 2, zatem po lewej stronie równości liczba 2 występuje parzystą liczbę razy lub nie występuje w ogóle. Przypatrzmy się teraz prawej stronie równości. Widać, że liczba 2 występuje tu nieparzystą liczbę razy. Zatem mielibyśmy równość dwóch liczb, w których w jednej czynnik 2 występowałby nieparzystą liczbę razy lub nie występowałby w ogóle, a w drugiej czynnik 2 występowałby parzystą liczbę razy. Czyli założenie, że pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną prowadzi do sprzeczności. Zatem nasze założenie było fałszywe, więc Pierwiastek z 2jest liczbą niewymierną.

 

<powrót>



Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło