MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Wektory

WEKTORY



Wektorem swobodnym nazywamy zbiór wszystkich wektorów mających ten sam kierunek, zwrot i długość. Wektor swobodny jest więc zbiorem wszystkich wektorów równych. Reprezentantem wektora swobodnego jest dowolny wektor zaczepiony posiadający określony kierunek, zwrot i długość.


Wektorem zaczepionym  nazywamy uporządkowaną parę punktów. Punkt  jest początkiem, zaś punkt  końcem wektora .

Każdy wektor zaczepiony  posiada;

-kierunek – wyznaczony przez kierunek prostej ,

-zwrot – wyznaczony przez półprostą o początku w punkcie  i zawierającą  punkt ,

-wartość (długość) – będącą długością odcinka .

 


Równość wektorów

    Jeśli   = [a1 , a2]  ,   = [b1 , b2 ] , to:    ( a1 = b1  i  a2 = b2 )


Długość wektora

    Jeśli  = , to:

    Jeśli   ,  to: 


Działania na wektorach

   
Jeśli   ,  to:
                                                               1. 
                                                               2. 
                                                               3.  ,


   


Współrzędne wektora na płaszczyźnie

     współrzędne początku wektora ;

      współrzędne końca wektora.

 


Długość wektora

     

 

   


Wektorem zerowym nazywamy wektor, którego początek pokrywa się z końcem. Oznaczmy go symbolem .

 

   


Wektory posiadające tę samą wartość, kierunek i zwrot nazywamy wektorami równymi. Zatem wektory równe różnią się jedynie punktami zaczepienia.

Wektory  są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe współrzędne, tzn.

 

 


Iloczynem wektora  przez liczbę rzeczywistą  nazywamy wektor  oznaczony symbolem  i posiadający następujące właściwości:

Jeśli , to  ma taki sam kierunek i zwrot co ,

Jeśli  , to  ma taki sam kierunek co , ale zwrot przeciwny niż ,

Jeśli   , to  jest wektorem zerowym,

 


Współrzędne wektora  obliczamy: Jeżeli  i  , to

 

   


Wektorem przeciwnym do wektora  nazywamy wektor . Współrzędne wektora przeciwnego mają współrzędne

 

 


Jeśli na wektorach  i   zbudujemy równoległobok, to jedna z przekątnych będzie wyznaczała sumę, a druga różnicę wektorów  i .

 


Iloczynem skalarnym  dwóch wektorów niezerowych nazywamy liczbę równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi.

     

Jeżeli  ,  , to

 


Cosinus kąta między wektorami
Cosinus kąta między wektorami    = [a1 , a2]  ,   = [b1 , b2 ] wyraża się wzorem:
                         

 


Warunek prostopadłości wektorów

Jeśli   = [a1 , a2]  ,   = [b1 , b2 ],  to:   ^

        Poza tym można stwierdzić:

       

       

 

 


Warunek równoległości wektorów

Jeśli  = [a1 , a2]  ,   = [b1 , b2 ],  to: 

 


Iloczynem wektorowym  wektorów  i   nazywamy wektor o    następujących własnościach:

 

  • ,

  •  jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory  i  .

  • zwrot wektora  jest taki, że wektory , , tworzą tzw. trójkę prawoskrętną.

 


Wyznacznik pary wektorów

Wyznacznikiem uporządkowanej pary wektorów niezerowych  
 = [a1 , a2]  ,   = [b1 , b2 ]  nazywamy liczbę:
                                     

 


 


Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło