MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Pierwiastek pierwotny

Pierwiastek pierwotny n-tego stopnia z jedności

 

Definicja

Liczbę zespoloną z nazywamy pierwiastkiem pierwotnym – n-tego stopnia z jedności jeżeli Zn = 1 i Zn , dla s = 1, 2, 3, ..., n-1, np. liczby i oraz –i są pierwiastkami pierwotnymi z jedności czwartego stopnia bo i4 = 1 oraz (-i)4 = 1, ale i3, natomiast 1 i(-1) nie są pierwiastkami pierwotnymi z jedności czwartego stopnia, bo 13 też jest równy 1. i(-1)2 = 1.

Pierwiastki n-tego stopnia z jedności wyrażają się wzorem

    

Pierwiastki pierwotne z jedności mają interesujące własności. Weźmy pod uwagę E1. Ze wzoru de Moivre’a wynika, że E2 = ,

Tym samym ciąg skończony

Zawiera wszystkie różne pierwiastki n-tego stopnia z 1. Nasuwa się pytanie, czy ciąg

dla dowolnego   i dowolnego n zawiera wszystkie pierwiastki

Odpowiedź jest przecząca, bowiem niech n = 4 wówczas

         

ciąg  zawiera wszystkie pierwiastki, ale ciąg  nie ma tej własności, gdyż            

Dla ustalonego k liczba  jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedności wtedy i tylko wtedy, gdy k i n są względnie pierwsze, tzn. gdy największy wspólny dzielnik liczb k i n równa się 1.

 

Twierdzenie

Jeżeli Ek jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedności, to liczby

są wszystkimi różnymi pierwiastkami n-tego stopnia z jedności .

Przykład

Znaleźć wszystkie pierwiastki pierwotne równania

Spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 tylko liczby 1 i 5 są liczbami pierwszymi względem 6. Zatem pierwiastkami pierwotnymi równania są liczby

 

 

 



Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło