MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Przekształcenia geometryczne

Przekształcenia geometryczne

 

Przekształceniem geometrycznym płaszczyzny nazywamy takie przekształcenie, którego dziedziną i zbiorem wartości są  punkty płaszczyzny.

Określenie przekształcenia geometrycznego polega na podaniu przepisu, według którego mając dany dowolny punkt płaszczyzny , konstruujemy obraz  tego punktu. Zapisujemy to tak: .

 


Izometrią nazywamy takie przekształcenia płaszczyzny, które zachowują odległości, tzn.

 

Izometriami są:

-          translacja,

-          obrót,

-          symetria osiowa,

-          symetria środkowa

-          złożenia w/w przekształceń.

 

Każda izometria zachowuje współliniowość punktów.

 


Symetrią osiową o osi  nazywamy takie przekształcenia geometryczne, które:

(I)              punktom osi  przyporządkowuje te same punkty,

(II)           punktowi  przyporządkowuje punkt   leżący na prostej prostopadłej do prostej  i przechodzącej przez punkt , w odległości takiej samej od prostej  jak punkt , ale po przeciwnej stronie prostej

 

             krótko zapisujemy to w sposób następujący:

                  

 

Mówimy, że prosta  jest osią symetrii figury , jeżeli obrazem tej figury w symetrii osiowej względem prostej  jest ta sama figura, tzn. . Mówimy wtedy o figurze , że jest osiowo symetryczna.

 

 


Symetrią środkową o środku  nazywamy takie przekształcenie geometryczne płaszczyzny, w którym:

      (I)     

(II)          punktowi  przyporządkuje punkt  taki , że  jest środkiem odcinka .

 

Związek między współrzędnymi punktu  i jego obrazu  jest następujący:

.

 

 

Mówimy, że punkt  jest środkiem symetrii figury , jeżeli obrazem figury  w symetrii środkowej względem punktu  jest ta sama figura :

.

 


Przesunięciem równoległym (translacją) o dany wektor  nazywamy takie przekształcenie geometryczne, które punktowi  przyporządkowuje punkty  takie, że  .

Zapisujemy to w sposób następujący:

 

 


Obrotem o kąt skierowany wokół punktu  nazywamy takie przekształcenie geometryczne, w którym

(I)            punkt  jest punktem stałym tego przekształcenia,

(II)          obrazem punktu  jest taki punkt , że   i 

W przypadku gdy , wzory na współrzędne obrazu  punktu  są następujące:

.

 

W szczególności gdy , to

.

 

 


Przystawanie figur. Mówimy, że dwie figury geometryczne  i   są przystające i zapisujemy , jeżeli istnieje izometria przekształcająca jedną figurę w drugą.

 

 


Podobieństwem w skali  nazywamy takie przekształcenie geometryczne, w którym dowolnym punktom  i są przyporządkowane takie punkty i , że:

.

Podobieństwo oznaczamy przez .

 

Mówimy, że dwie figury geometryczne  i  są podobne i zapisujemy , jeżeli istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę w drugą.

 

Figury podobne mają odpowiednie kąty jednakowej miary i odpowiednie boki proporcjonalnej długości.

 

Pole figur podobnych

Podobieństwo w skali  zmienia pole figur podobnych w stosunku

 


 Jednokładnością ośrodku  i skali  nazywamy takie przekształcenie geometryczne, w którym dowolnemu punktowi  zostaje przyporządkowany taki punkt , że

Oznaczanie jednokładności jest następujące:

 

Własności jednokładności wynikające z definicji.

 

1.    Środek jednokładności , dowolny punkt  i jego obraz  leżą na jednej prostej.

     Jeśli , to  i  leżą na tej samej półprostej o początku

Jeśli , to  i  leżą na dwóch uzupełniających się półprostych o  początku

2.    Przekształcenie odwrotne do jednokładności o środku  i skali  jest jednokładnością o środku  i skali

 

3.    Jeśli , to jednokładność jest przekształceniem tożsamościowym.

      Jeśli , to jednokładność jest symetrią środkową o środku pokrywającym

      się ze środkiem jednokładności.

           Jeśli , to jednokładność jest izomerią.

 

4.    Środek jednokładności jest jednym punktem stałym tej jednokładności.

 

5.    Złożenie jednokładności o środku  i skali  z jednokładnością o środku  i skali  jest jednokładnością o środku  i skali , co zapisujemy następująco:

         

 


Rzutem równoległym na prostą w kierunku prostej  ( nie jest równoległe do ) nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny na prostą , które każdemu punktowi  przyporządkowuje punkt  przecięcia proste  z prostą równoległą do prostej  i przechodzącej przez punkt .

 

Prostą  nazywamy rzutnią. Kierunek prostej  nazywamy kierunkiem rzutowania.

 

Rzut równoległy nie jest przekształceniem różnowartościowym i nie jest przekształceniem płaszczyzny w płaszczyznę, tylko płaszczyzny w prostą.

 


Rzutem prostokątnym na prostą  nazywamy takie przekształcenia płaszczyzny na prostą , które każdemu punktowi  płaszczyzny przyporządkowują punkt  przecięcia prostej  z prosta prostopadłą do niej i przechodzącą przez punkt

 

Rzut prostokątny jest szczególnym przypadkiem rzutu równoległego, w którym  Własności rzutu prostokątnego są takie same jak rzutu równoległego.

  


Twierdzenie Talesa.

Jeżeli ramiona kąta przecięte są dwiema prostymi równoległymi, to stosunek długości odcinków jednego ramienia, których początek jest wierzchołkiem kąta, jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków drugiego ramienia.

 

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.

Jeżeli ramiona kata przecięte są dwiema prostymi  i oraz stosunek długości odcinków jego ramienia, których jednym końcem jest wierzchołek kąta, równa się stosunkowi długości odpowiednich odcinków drugiego ramienia, to proste i  są równoległe

 

 


 


Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło