MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Nierówności wielomianowe
Nierówności wielomianowe

Nierówności wielomianowe

 

Nierównością wielomianową n-tego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy nierówność postaci:

(***)    anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0>0,

 lub

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0<0,

 lub

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0³0,

 lub

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0£0.

 

 

Przy rozwiązywaniu powyższej nierówności wykorzystujemy zasadę:

-          jeżeli pierwiastkami wielomianu:  anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
są liczby: x1, x2, ..., xk przy czym x1<x2<...<xk, to w każdym z przedziałów:

(-¥; x1), (x1; x2), ..., (xk; ¥) wielomian ma stały znak.

 

Aby rozwiązać nierówność wielomianową postaci (***) należy:

1.      lewą stronę nierówności rozłożyć na czynniki co najwyżej 2-go stopnia,

2.      każdy z czynników przyrównać do zera i wyznaczyć pierwiastki wielomianu (tzn. miejsca zerowe),

3.      zaznaczyć pierwiastki na osi liczbowej w kolejności rosnącej,

4.      poprowadzić wężyk przechodzący przez kolejne miejsca zerowe według zasady:
wężyk prowadzimy od prawej do lewej strony osi zaczynając rysowanie z góry jeżeli an>0 lub z dołu jeżeli an<0.

 

 

 

Uwaga: jeżeli pierwiastek jest parzystej krotności to prowadząc wężyk wykonujemy odbicie symetryczne w miejscu danego pierwiastka:

 

 


ZADANIE 1

Rozwiąż nierówność:       (x – 3)(1 – x)(x + 4)4(2 – x)2 > 0.

Rozwiązanie:

Lewa strona nierówności jest rozłożona na czynniki liniowe, zatem wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika:

x – 3 = 0         lub      1 – x = 0         lub       (x + 4)4 = 0                lub      (2 – x)2 = 0

x = 3                lub      x = 1              lub        x = -4 trzykrotny        lub       x = 2 dwukrotny.

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej i prowadzimy wężyk zgodnie z zasadą opisaną powyżej

anxn = x×(-x)×x3×(-x)2 = -x7, an = -1 < 0

 

Ponieważ współczynnik an przy najwyższej potędze zmiennej x jest ujemny więc wężyk prowadzimy zaczynając z dołu:

 

 

Odczytujemy znak dodatni:


(x – 3)(1 – x)(x + 4)4(2 – x)2 > 0  Û       x Î (-¥; -4) È (1; 2) È (2; 3).

 


ZADANIE 2

Rozwiąż nierówność:       x5×(x4 – 8x2 – 9)(4 – x4)(x2 + 6x – 7) £ 0

Rozwiązanie:
 
Wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika:

x5 = 0 Û x = 0 pięciokrotny,            

lub       x4 – 8x2 – 9 =0

podst. x2 = z i z ³ 0

z2 – 8 z – 9 = 0

Dz = 64 - 4×(-9) = 100,

 nie spełnia założenia z ³ 0

 

z podstawienia x2 = 9

x = -3 lub x = 3

x4 – 8x2 – 9 =0 Û x = -3 lub x = 3

lub       4 – x4 = 0

(2 – x2)(2 + x2) = 0

2 + x2 = 0, x2 = -2 nie ma rozwiązań,

4 – x4 = 0 Û

lub       x2 + 6x – 7 = 0

D = 36 + 28 = 64

 

x2 + 6x – 7 = 0 Û x = -7 lub x = 1

 

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej, ustalamy znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x i prowadzimy wężyk.

anxn = x5×x4×(-x4)×x2 = -x15 , an = -1 <0

 

 

Odczytujemy znak niedodatni (£0)

x5×(x4 – 8x2 – 9)(4 – x4)(x2 + 6x – 7) £ 0 Û x Î<-7; -3> È <-; 0> È <1; > È <3; ¥).

 


ZADANIE 3

Rozwiąż nierówność: x4 + 2x3 – x – 2 < 0

Rozwiązanie:
Rozkładamy lewą stronę nierówności na czynniki metodą grupowania:

x3(x + 2) – (x + 2) < 0

(x + 2)(x3 – 1) < 0

czynnik x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) ze wzoru a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )

 

Nierówność ma postać:
(x + 2)(x – 1)(x2 + x + 1) < 0
x + 2 = 0 lub x – 1 = 0 lub x2 + x + 1 = 0
x = -2 lub x = 1, równanie x2 + x + 1 = 0 nie ma pierwiastków (D<0)

 

 

x4 + 2x3 – x – 2 < 0 Û x Î (-2; 1).

 


ZADANIE 4

Rozwiąż nierówność:           x4 – 7x3 + 17x2 – 17x + 6 £ 0

Rozwiązanie:
Rozkładamy lewą stronę nierówności na czynniki odgadując pierwiastek całkowity wśród liczb:

±1, ±2, ±3, ±6.

 

W(1) = 1 – 7 + 17 – 17 + 6 = 7 – 7 = 0   tzn. x = 1 jest pierwiastkiem tzn. wielomian jest podzielny przez dwumian (x – 1)

 

Po wykonaniu dzielenia:
(x4 – 7x3 + 17x2 – 17x + 6) : (x – 1) = x3 – 6x2 + 11x – 6

 

Odgadujemy pierwiastki całkowite wielomianu: 
x3 – 6x2 + 11x – 6 wśród liczb: ±1, ±2, ±3, ±6

 

W(2) = 8 – 24 + 22 – 6 = 30 – 30 = 0 tzn. x = 2 jest pierwiastkiem wielomianu więc wielomian dzieli się przez dwumian x – 2.

Po wykonaniu dzielenia:
(x3 – 6x2 + 11x – 6) : (x – 2) = x2 – 4x + 3
x4 – 7x3 + 17x2 – 17x + 6 = (x – 1)( x3 – 6x2 + 11x – 6) = (x – 1)(x – 2)( x2 – 4x + 3)

 

Nierówność ma postać:
(x – 1)(x – 2)( x2 – 4x + 3) £ 0

 

Wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika:
x – 1 = 0         lub      x – 2 = 0         lub       x2 – 4x + 3 = 0
x = 1                lub      x = 2                           D = 16 – 12 = 4         

                                                                        lub

x = 1 dwukrotny        lub       x = 2    lub       x = 3

 

 

Odczytujemy znak niedodatni:                     x4 – 7x3 + 17x2 – 17x + 6 £ 0 Û       x Î <2; 3> È {1}.

 



Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło