MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Granice ciągów

Granica ciągu

 

Granica właściwa ciągu : Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego , jeżeli do każdego otoczenia liczby  należą prawie wszystkie wyrazy ciągu , co zapisujemy    lub    .

 Wyrażenie „prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza „wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby wyrazów”.

 

 

Ciąg , który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym.

Ciągi, które nie są zbieżne nazywamy rozbieżnymi.

 

Granica niewłaściwa ciągu : Ciąg  nazywamy rozbieżnym do  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M,

 

co zapisujemy     

 

 Ciąg  nazywamy rozbieżnym do  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy

 

                                    

 

 

 

Twierdzenia o ciągach zbieżnych

 

·        Ciąg stały, czyli ciąg, którego wszystkie wyrazy są równe pewnej liczbie , jest zbieżny i liczba  jest jego granicą.  

 

·        Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.

 

·        Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony, ale nie każdy ciąg ograniczony jest zbieżny (np. ciąg naprzemienny ) .

 

·        Jeżeli  i   ,  to :

    .

 

·        Jeżeli  i   i prawie wszystkie wyrazy ciągów  i  spełniają warunek  , to   .

 

·        Twierdzenie o trzech ciągach. Jeżeli  i  i jeśli  jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność  , to  .

 

·        Twierdzenie o ciągu monotonicznym: Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny. Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny.

 

·        Twierdzenie Bolzano – Weierstrassa: Z każdego ciągu liczbowego ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.

 

 

Granice niektórych ciągów

 ,

  ,

  , jeśli ,

   , 

 Jeśli  , to: oraz 

 



Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło