MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Druga pochodna

Druga pochodna funkcji i jej interpretacja

 

 

Jeżeli funkcja pochodna  jest różniczkowalna, to pochodną funkcji  nazywamy pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji  i oznaczamy symbolem .  Analogicznie określamy pochodne wyższych rzędów.

 

 

WKLĘSŁOŚĆ, WYPUKŁOŚĆ FUNKCJI

 

Jeżeli funkcja  jest różniczkowalna w przedziale , to mówimy, że funkcja  jest wypukła w przedziale  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  styczna do wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej  jest położona pod tą krzywą.

Jeżeli funkcja  ma w przedziale  pochodną  oraz drugą pochodną  ciągłą w tym przedziale i  dla każdego , to funkcja  jest wypukła w przedziale  .

 

Jeżeli funkcja  jest różniczkowalna w przedziale , to mówimy, że funkcja  jest wklęsła w przedziale  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  styczna do wykresu tej funkcji w punkcie o odciętej  jest położona nad tą krzywą.

Jeżeli funkcja  ma w przedziale  pochodną  oraz drugą pochodną  ciągłą w tym przedziale i  dla każdego , to funkcja  jest wklęsła w przedziale  .

 

 

PUNKT PRZEGIĘCIA

 

Punkt  jest punktem przegięcia wykresu funkcji , jeżeli w lewostronnym sąsiedztwie punktu  funkcja jest wypukła i w prawostronnym sąsiedztwie punktu  wklęsła, lub odwrotnie.

 

Jeżeli funkcja  ma drugą pochodną ciągłą, to w punktach przegięcia wykresu funkcji , druga pochodna  jest równa zeru.

Jeżeli druga pochodna  dla  jest ujemna (dodatnia), dla  jest równa zeru, dla  jest dodatnia (ujemna), co wyrażamy krócej, mówiąc: druga pochodna przy przejściu przez punkt  zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego na ujemny), to wykres funkcji  ma punkt przegięcia w punkcie .

 

Przykład

Znaleźć punkty przegięcia oraz określić przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji:

           

 a)                  

 

 

 

 

Istnieją trzy punkty przegięcia :

 

 

b)               

 

    

 

              

 

 jest wklęsła w każdym z przedziałów .

 

Brak punktów przegięcia.

 


 


Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło