MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Monotoniczność i ekstrema funkcji

Monotoniczność i ekstrema funkcji

 


Monotoniczność funkcji 

Jeżeli funkcja  jest różniczkowalna w przedziale , to:

 

·          funkcja  jest stała w przedziale  .

 

·          funkcja  jest rosnąca w przedziale  .

 

·          funkcja  jest malejąca w przedziale  .

 


Ekstrema lokalne funkcji 

Funkcja  ma w punkcie  maksimum lokalne równe  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie  punktu , że dla każdego  i  jest spełniona nierówność

 

 .

 

Funkcja  ma w punkcie  minimum lokalne równe  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie  punktu , że dla każdego  i  jest spełniona nierówność

 

.

 


Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.

 

Jeżeli funkcja  ma w punkcie  ekstremum i ma w tym punkcie pochodną, to  .

 


Pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

 

Jeżeli funkcja  jest ciągła w punkcie  i ma pochodną w pewnym sąsiedztwie , przy czym:

 

 dla  i  dla  - zmiana znaku pierwszej pochodnej przy przejściu przez punkt  z dodatniego na ujemny lub

[ dla  i  dla  - zmiana znaku pierwszej pochodnej przy przejściu przez punkt  z ujemnego na dodatni] ,

to funkcja ma w punkcie  maksimum [minimum] lokalne.

 


Drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

 

Jeżeli funkcja  jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu  punktu  i jej druga pochodna jest ciągła w tym otoczeniu oraz  i   , to funkcja  ma w punkcie  minimum [maksimum] lokalne równe .

 

Przykład

Wyznacz przedziały monotoniczności i znajdź ekstrema funkcji

 

a)                 

 

                      

  Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:

 

  Przedziały monotoniczności:

  ,

   czyli  jest rosnąca w przedziałach .

  ,

   czyli  jest malejąca w przedziałach .

 

Ekstremum: 

W punkcie  jest spełniony warunek konieczny  oraz dostateczny (zmiana znaku pochodnej z dodatniego na ujemny przy przejściu przez punkt ) istnienia ekstremum. A więc istnieje maksimum lokalne

 .

 

b)               

 

            

 

   Obliczam miejsca zerowe pochodnej:

 

   Przedziały monotoniczności :

  ,

  czyli  jest rosnąca w przedziale .

  ,

  czyli  jest malejąca w przedziale .

 

Ekstremum:

W punkcie  jest spełniony warunek konieczny  oraz dostateczny (zmiana znaku pochodnej z dodatniego na ujemny przy przejściu przez punkt ) istnienia ekstremum. A więc istnieje maksimum lokalne

.

 


 Ekstrema globalne funkcji (wartość największa i najmniejsza funkcji w danym przedziale)

 

Funkcja  ma w punkcie  minimum [maksimum] globalne, jeżeli dla każdego  spełniona jest nierówność:

  .

 

Minimum [maksimum] globalne nazywamy także najmniejszą [największą] wartością funkcji.

 

Aby znaleźć najmniejszą/największą wartość funkcji w przedziale  należy :

1)      Znaleźć wartości funkcji na końcach przedziału .

 

2)      Znaleźć ekstrema funkcji w przedziale .

 

3)      Spośród wartości otrzymanych w punktach 1),2) wybrać najmniejszą [największą].

 

Przykład

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale.

 

a)                    

 

                                

 

           

 

   

 

Spośród otrzymanych wartości wybieramy największą i najmniejszą.

  

    Odp.:                                               

  

b)        

 

                

  

    

    

 

    

    

   

 

    Odp.:                             

 

 



Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło