MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
VIDEO
Tomasz Grebski
_________

 

 

 

 

     
 

 

MATEMATYCZNY KALENDARZ 2020

"Matematyk na każdy dzień!"

 

Tego jeszcze nie było!

Pierwszy matematyczny kalendarz już jest!

 

Zobacz szczegóły!

 

 

Pochodna funkcji

Pochodna funkcji

 

Niech  jest funkcją określoną na pewnym otoczeniu  punktu , zaś  taką liczbą, że . Iloraz   nazywamy ilorazem różnicowym funkcji  w punkcie , dla przyrostu  zmiennej niezależnej.

Granicę właściwą (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego dla  dążącego do zera nazywamy pochodną funkcji  w punkcie  i oznaczamy symbolem .

 

 

Jeżeli funkcja  ma pochodną w każdym punkcie  pewnego przedziału, to określoną na tym przedziale funkcję nazywamy pochodną funkcji .

 

  

Przykład

Obliczyć z definicji pochodną funkcji  w punkcie .

 Rozwiązanie:

 

Jeżeli iloraz różnicowy  ma granicę jednostronną w punkcie , to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną funkcji  w punkcie  i oznaczamy odpowiednio symbolami:

 

     pochodna prawostronna 

 

     pochodna lewostronna.

 

Pochodna  istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są równe.

 

Funkcję  zmiennej rzeczywistej określoną w pewnym otoczeniu punktu  nazywamy różniczkowalną w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pochodna funkcji  w punkcie .

 

Jeżeli funkcja  jest różniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła. Nie każda funkcja ciągła w punkcie ma pochodną w tym punkcie.

 

Przykład 

Czy funkcja  ma pochodną w każdym punkcie ? Czy funkcja ta ma ekstremum lokalne?

 

 Funkcja ciągła nie posiadająca pochodnej w punkcie

 

               

  

Odp. Funkcja nie ma pochodnej w , ale posiada minimum lokalne w tym punkcie.

  

Różniczkowalność funkcji  w punkcie  badamy:

 

1)       obliczając granicę   albo

 

2)       obliczając  i  oraz sprawdzając czy

  

Funkcję  nazywamy różniczkowalną w zbiorze, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru.

 


 Twierdzenia o pochodnych i wzory na obliczanie pochodnych

 

Jeżeli funkcje  mają pochodne w punkcie , to :

 

·           dla dowolnej stałej

 

·        

 

·        

 

·        

 

·          ,   gdy 

 

·            

 

Pochodna funkcji złożonej, gdy funkcja  (zewnętrzna) ma pochodną w punkcie , a funkcja  (wewnętrzna) w  punkcie . [ iloczyn pochodnej funkcji zewnętrznej z niezmienionym wnętrzem przez pochodną funkcji wewnętrznej ]

 

Przykład

Obliczyć pochodne funkcji:

  a)

 

b)                             

 

c)                             

 

d)                             

 

e)                        

 

f)                           

 

  

POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH 

Wzór funkcji

Pochodna  funkcji

Dziedzina

– stała)

=

()’= .

 

=

()’=

 

 

 

 

 

 

  


Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie masz jeszcze konta?
Zarejestruj się

Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło
POLECAM
Mathteacher Matura Tomasz Grebski





 

 

 

 

 

 





Tomasz Grebski

 

Losowa Fotka