MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji

 

Funkcję  zmiennej rzeczywistej nazywamy funkcją ciągłą w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli:

 

1.      funkcja  ma w punkcie  granicę ,

 

2.      granica  jest równa wartości .

 

Wskazówka do zadań:

 Ciągłość funkcji  dla  badamy:

 1.      Obliczając:  i  ‘

2.      Sprawdzając, czy:  .

 

Przykład

Zbadaj ciągłość funkcji:

a) ,

b) ,

c) ?

 Rozwiązania:

     a) Ciągłą jest funkcja liniowa .

 

b)      . Funkcję tą można przekształcić do postaci:. Funkcja ta nie jest ciągła w punkcie , gdyż punkt ten nie należy do dziedziny, ale jest to nieciągłość usuwalna, gdyż . Funkcja ciągła będzie miała postać:

 

c)      . Wykresem funkcji  jest hiperbola. Nie jest to funkcja ciągła i jest to nieciągłość nieusuwalna, gdyż

 

 

Funkcję  nazywamy ciągłą w przedziale , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

 

Funkcja  jest ciągła w przedziale  wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale  oraz    i  .

 

Przykład

Zbadać ciągłość funkcji:

a) ,

 

Badamy ciągłość funkcji w punktach ,  gdyż w przedziałach

 jest ciągła  (funkcja liniowa, kwadratowa).

 

                                   

 

A więc funkcja jest ciągła w punkcie , gdyż 

 

                                

 

 

Zatem funkcja jest ciągła w punkcie , gdyż 

 

 b)  , .

 

                        

 

 

Funkcja nie jest ciągła i jest to nieciągłość nieusuwalna. Nie można dobrać takiego , aby funkcja była ciągła.

 


Twierdzenia o funkcjach ciągłych

  

Ciągłość funkcji odwrotnej.

Funkcja odwrotna do funkcji  ciągłej i rosnącej (malejącej) w przedziale  jest ciągła i rosnąca (malejąca) w przedziale .

 

Działania arytmetyczne na funkcjach ciągłych.

Jeśli funkcje  określone w przedziale  są ciągłe w punkcie , to funkcje :  są ciągłe w punkcie .

 

Złożenie funkcji ciągłych.

Funkcja, która jest złożeniem funkcji ciągłych, jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.

 

 


 


Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło