MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Granica funkcji

Granica funkcji w punkcie

 

Definicja Heinego:

Funkcja  ma w punkcie  granicę , wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu , gdzie  o wyrazach  i zbieżnego do , ciąg wartości funkcji  jest zbieżny do .

 

 

Definicja Cauchy’ego:

Funkcja  ma w punkcie  granicę , jeśli dla każdej liczby  istnieje taka liczba , że dla każdego  spełniony jest warunek  .

 

 

Definicje Heinego i Cauchy’ego są równoważne.

 

Podobnie definiujemy granice jednostronne funkcji w punkcie, granice niewłaściwe funkcji w punkcie oraz granice funkcji w nieskończoności.

 


 

Własności granic funkcji

 

1)    Funkcja  ma w punkcie x0 granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie granice jednostronne funkcji w tym punkcie i obie są równe .

 

 

 

2)    Jeżeli istnieją granice: , to :

 

,

 

         ,

 

          , gdy  .

 

3)    Jeżeli  ,  to   .

 

4)    Jeżeli  i   w pewnym sąsiedztwie punktu x0 ,to .

 

5)    Jeżeli  i   w pewnym sąsiedztwie punktu x0 ,to .

 

6)    Jeżeli   i   ,  to  .

 

7)    Jeżeli   i   ,  to  .

 

 


Symbole nieoznaczone

Wyrażenia typu:

  

 

nazywamy symbolami nieoznaczonymi. Przy obliczaniu granic należy wówczas przekształcić to wyrażenie do innej postaci tak, aby usunąć nieoznaczoność.

 


Reguła de L’Hospitala

 

 Jeżeli funkcje  i  są określone i różniczkowalne w sąsiedztwie punktu ,  i  oraz zachodzi jeden z następujących warunków:  lub    i   i jeśli istnieje granica , to istnieje granica , przy czym :

 

 

 

 

Przykład

 

 


Granice niektórych funkcji

 

 Jeśli ,  to:

 

                                    

                                 

                    

 

 

Przykłady

 

a)

 

 

b)   

 

 

c)   

 

 

d)   

 

e)    

 

 

f)   

 

 

 



Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło