MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Równania Naviera-Stokesa
Równania Naviera-Stokesa

Równo sto lat po słynnym programie Hilberta podczas majowej konferencji w Paryżu, Instytut Claya ogłosił listę siedmiu problemów milenijnych, aby uczcić nadchodzące nowe tysiąclecie.

Wyboru problemów dokonał Komitet Naukowy, zaś nagrody finansowe (w wysokości 7 milionów dolarów) ufundował i zapewnił Dyrektoriat Instytutu.

 

Na liście znalazły się równania Naviera-Stokesa

 

Równania Naviera-Stokesa (nazwane na cześć Claude-Louis Naviera i George Gabriel Stokesa) – zestaw równań w postaci równań ciągłości, opisujących zasadę zachowania masy i pędu dla poruszającego się płynu. Według nich zmiany pędu elementu płynu zależą jedynie od zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sił lepkości w płynie.
Dla płynu idealnego o zerowej lepkości równania mówią, że przyspieszenie jest proporcjonalne do pochodnej ciśnienia.
Oznacza to, że rozwiązania równań dla danego problemu fizycznego muszą być znalezione na drodze rachunku różniczkowego i całkowego. W praktyce, jedynie najprostsze przypadki mogą być rozwiązane dokładnie na tej drodze. To znaczy przypadki nieturbulentnego, spokojnego przepływu (nie zmieniającego się w czasie), w których liczba Reynoldsa ma małą wartość.
W bardziej złożonych przypadkach, takich jak systemy badania pogody na Ziemi, takie jak El Niño lub przy obliczeniach siły nośnej skrzydeł samolotów, rozwiązania równań Naviera-Stokesa mogą być znalezione jedynie metodami numerycznymi przy pomocy komputerów. Jest to oddzielna dziedzina nauki zwana obliczeniową mechaniką płynów.
W 2000 roku Instytut Matematyczny Claya ogłosił równania Naviera-Stokesa jednym z siedmiu problemów milenijnych matematyki i zaoferował 1 000 000 dolarów nagrody za podanie rozwiązania lub kontrprzykładu

 

Ogólna forma równań Naviera-Stokes'a dla zasady zachowania pędu:

\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla\cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{f}

gdzie:

  • \rho\ - gęstość płynu,

  • \frac{D}{D t} - Operator Stokesa zwany też pochodną substancjalną,

  • \mathbf{v} - wektor prędkości,

  • \mathbf{f} - wektor przyspieszenia płynu (sił masowych),

  • \mathbb{P} - tensor naprężeń wewnętrznych w elemencie płynu.

Ogólnie, (w trzech wymiarach) \mathbb{P} ma postać:

\mathbb{P} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} &  \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}

gdzie:

  • \sigma\ - naprężenia normalne,

  • \tau\ - naprężenia styczne.

Dla przepływów bezwirowych \mathbb{P} jest tensorem symetrycznym. Wówczas trzy równania, po jednym dla każdego wymiaru, same jako takie nie wystarczają do rozwiązania problemu. Jednak dodając zasadę zachowania masy i odpowiednie warunki początkowe, układ staje się rozwiązywalnym zestawem równań

 



Claude Louis Marie Henri Navier

 

Claude Louis Marie Henri Navier (ur. 10 lutego 1785 w Dijon, zm. 21 sierpnia 1836 w Paryżu) - francuski inżynier i fizyk, który głównie specjalizował się w mechanice. Znane równania w mechanice ośrodków ciągłych, tzw. równania Naviera-Stokesa, nazwane zostały na jego cześć.

Nadzorował budowę mostów w Choisy, Asnières i Argenteuil w departamencie Seine oraz kładek dla pieszych w Paryżu. W 1824 został przyjęty w poczet członków Francuskiej Akademii Nauk. W 1830 został profesorem w École nationale des ponts et chaussées, a w następnym roku przejął stanowisko profesora rachunku różniczkowego i całkowego oraz mechaniki w École Polytechnique.

Navier jako pierwszy sformułował ogólną teorię sprężystości używając rozwiniętego języka matematyki (1821). W 1826 wprowadził moduł sprężystości jako właściwość materiału niezależną od geometrycznego momentu bezwładności. Dlatego uważany jest za twórcę podstaw współczesnej analizy strukturalnej.

Jednakże jego największym wkładem było sformułowanie równań, które opisują ruch płynu i są podstawą mechaniki ośrodków ciągłych i hydromechaniki (równania Naviera-Stokesa).

Jego nazwisko pojawiło się na liście 72 nazwisk na wieży Eiffla.


Sir George Gabriel Stokes

 

Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet (ur. 13 sierpnia 1819 w Skreen w hrabstwie Sligo w Irlandii, zm. 1 lutego 1903 w Cambridge w Anglii) – irlandzki matematyk i fizyk, powiązany z Uniwersytetem Cambridge. Zajmował się między innymi dynamiką płynów (równania Naviera-Stokesa), optyką, fizyką matematyczną (twierdzenie Stokesa). W 1889 został mu nadany tytuł baroneta. Był sekretarzem, a następnie w latach 1885-1890 prezydentem Royal Society.

źródło: wikipedia



Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło