MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Rachunek prawdopodobieństwa
Nowa strona 2

I. Doświadczenia losowe


Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe.

Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli:
- można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach,
- wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć.

Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp.

 


II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych



Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą Formula.

Formulanosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami Formula i nazywa zdarzeniami elementarnymi.

W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń Formulajest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów:

Formula

 

Przykłady

1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła Formula lub wyrzucenie reszki Formula.
Opisując to doświadczenie przyjmujemy:

Formula

 

2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu:

Formula

gdzie Formula to liczba wyrzuconych oczek.

 

3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde Formula to uporządkowana para:

(wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu)
lub (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce)

Formula lub krócej Formula

4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde Formula to uporządkowana para:

(liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie)
lub (liczba oczek na kostce czerwonej, liczba oczek na kostce zielonej).

W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach. r1.gif

 

 

 

 

 

 

 





Formula

5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Formula tworzą podziały zbioru 52 kart na 4 zbiory po 13 kart. Liczba takich podziałów jest olbrzymia,
 

Formula



 

III. Zdarzenia



Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego Formula Częściej chodzi o to, czy Formula należy do określonego podzbioru przestrzeni Formula Np. czy w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek.

 

Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Formula.

Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem.
Np. gdy Formula
A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6},
B - wypadła liczba oczek nie mniejsza niż 4, B = {1,2,3,4},
C - wypadła szóstka, C = {6}.

Jeżeli wynikiem doświadczenia jest Formula oraz Formula to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że Formulasprzyja zdarzeniu A.

Podzbiorami Formula są też:
- zbiór pusty Formula przedstawiający zdarzenie niemożliwe (np. w jednym rzucie kostką wypadło 7 oczek lub jeden z graczy w brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier),
- cała przestrzeń Formulaprzedstawiająca zdarzenie pewne (każde Formula).

Zdarzenie Formula nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli Formula, to Formula i zachodzi zdarzenie przeciwne do A.
A' to zbiór tych Formula, które nie sprzyjają A.
Zdarzeniem przeciwnym do Formula jest Formula i odwrotnie.


IV. Działania na zdarzeniach



Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy zaszło przynajmniej jedno z nich.

Formula nazywamy koniunkcją zdarzeń A i B (,,A i B").


O zdarzeniach A i B takich, że Formula mówimy, że wykluczają się.

Formulanazywamy alternatywą zdarzeń A i B (,,A lub B").

Jeżeli Formula, to zajście zdarzenia A pociąga za sobą B.

Czasami o zdarzeniach Formula wyrażamy się w terminach teorii zbiorów (iloczyn, suma, dopełnienie), zamiast w terminach rachunku prawdopodobieństwa.


V. Definicja prawdopodobieństwa


  • Model klasyczny (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)

Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki Formula są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem:
Formula

Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp.

  • Model uogólniony

Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

Na przestrzeni zdarzeń elementarnych Formula określamy rozkład prawdopodobieństwa przypisując każdemu zdarzeniu elementarnemu Formula liczbę nieujemną Formula, tak aby spełniony był warunek:
Formula
Formula to prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego Formula

Prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia A nazywamy sumę prawdopodobieństw wszystkich Formula sprzyjających A.
Formula, gdzie sumujemy po wszystkich Formula
 

 


VI. Podstawowe własności prawdopodobieństwa



1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero:

Formula


2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności:

Formula


3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem:
 

Formula


Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe.
Np. rzucamy 10 razy symetryczna monetą,
A - wypadł orzeł przynajmniej jeden raz.
Wtedy A' - wypadły same reszki.
Formula i Formula
4. Dla każdego zdarzenia A:

Formula


5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to:
 

Formula


6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli Formula to:
 

Formula


 

Formula


7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B":
 

Formula


Stąd wniosek, że Formula, a równość tylko w sytuacji takiej jak w pkt 5.

 


VII. Prawdopodobieństwo warunkowe



Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia.

Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy liczbę
Formula

r2.gif

 

 

 

 

 

 



Jeżeli wiemy, że zaszło zdarzenie B, to ograniczamy się do zdarzeń elementarnych sprzyjających B (jest to nowa przestrzeń zdarzeń) oraz tych które należą do części wspólnej Formula (sprzyjają A i B).

Przykłady
1. Rzucono 3 razy monetą i wypadła nieparzysta liczba orłów (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły (zdarzenie A)?
Formula
Formula.
Można było też zastosować wzór: Formula,
Formula, Formula, Formula,
Formula
2. Rzucono 2 razy kostką do gry i w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie co najmniej 10 oczek (zdarzenie A)?
Zastosujmy wzór Formula
Z przykładu 4 w pkt. II (tablica) wiemy, że
Formula
Formula
Formula
Formula
Formula

Teraz prościutko stosując wzór Formula

r3.gif

 

 

 

 

 

 

 




Formula

Ze wzoru Formula mamy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń:
Formula

Korzystając z tego można pójść dalej
Formula
Formula itd.
Wzory te pojawią się, gdy będziemy opisywali metodę drzew.

 


VIII. Prawdopodobieństwo całkowite


Rodzinę zdarzeń Formula, które wzajemnie się wykluczają,
a ich suma daje Formula nazywamy zupełnym układem zdarzeń.
Formalnie oznacza to, że
Formula
Formula
czyli zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń Formula

Mówimy też, że rodzina taka stanowi rozbicie przestrzeni Formula.

Na diagramie wygląda to np. tak
r4.gif








Weźmy teraz dowolne zdarzenie A. Umieszczamy je na powyższym diagramie.

r5.gif








Widać, że: Formula
Wszystkie zdarzenia Formula są rozłączne. Z rozdziału II pkt. 5, wynika, że
Formula
Stosując wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy:
Formula

Ogólnie, jeżeli Formula stanowi układ zupełny zdarzeń to
Formula
Formula

Uwaga.
Zdarzenie B i do niego przeciwne B' stanowią rozbicie przestrzeni Formula Formula
W takim razie
Formula

IX. Niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli
Formula


Jeżeli A i B są niezależne to wg tej definicji:
Formula a to oznacza, że zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A.
Uwaga.
Jeżeli zdarzenie A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia: A i B’, A’ i B, A’ i B’.


X. Schemat Bernoulliego


Rozważmy skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach. Poszczególne zdarzenia z tego ciągu nazywamy próbami Bernoulliego.


Jeden z dwóch wyników nazywamy tradycyjnie sukcesem, a drugi porażką. Oznaczamy prawdopodobieństwo sukcesu jako Formula a prawdopodobieństwo porażki Formula Niezależność prób polega na tym, że dowolny wynik jednej próby nie wpływa na prawdopodobieństwo pojawienia się każdego z wyników w następnej próbie.

Schematem n prób Bernoulliego nazywamy ciąg Formula niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego.

Przykłady schematu Formula prób Bernolulliego
1. Formula-krotny rzut symetryczną monetą, za sukces możemy przyjąć wypadnięcie orła Formula
a porażka jest wypadnięcie reszki Formula
2. badanie Formula urządzeń, gdy interesuje nas czy są one sprawne czy wadliwe, sukces to ,,urządzenie jest sprawne",
3. Formula-krotny rzut symetryczną kostką, gdy za sukces uważamy wypadnięcie szóstki Formula, Formula
4. kupno Formula losów na loterii, gdy los jest wygrany (sukces) lub pusty (porażka).

Oznaczmy przez Formula liczbę sukcesów w schemacie Formula prób Bernouliiego.

Prawdopodobieństwo zajścia Formula sukcesów w schemacie Formula prób Bernoulliego Formula, z prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie Formula, wynosi
Formula

Przykłady
1. Rzucamy 6 razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia:
a) zdarzenia A - otrzymano jedną szóstkę,
b) zdarzenia B - otrzymano najwyżej dwie szóstki,
c) zdarzenia C - otrzymano co najmniej jedną szóstkę.

a) Formula
b) Formula, gdzie Formula- otrzymano 0, 1, 2 szóstki. Zdarzenia te wykluczają się. Stąd dalej wynika, że
Formula
Formula
Formula
Formula
c) Zdarzeniem przeciwnym do C jest C' - nie wypadła ani jedna szóstka. Stąd
Formula
Formula

2. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A - trzeci orzeł wypadł w 10-tym rzucie.
Bezpośrednio nie można zastosować wzoru na Formula. Jak realizuje się zdarzenie A?
Formula, gdzie
B - wypadły 2 orły w 9-ciu rzutach,
C - w dziesiątym rzucie wypadł orzeł,
Formula
Formula
Zdarzenia B i C są niezależne, więc
Formula
Formula

 


XI. Drzewa



Teraz będzie o metodzie, która nadaje się do doświadczeń realizowanych w dwóch lub więcej etapach. Takimi są np. - często występujące z zadaniach - losowanie kolejno kul z urny, rzuty monetą lub kostką, ciągnięcie kart z talii itp. oraz złożenie kolejno tych doświadczeń.

Przykład takiego (problemu) doświadczenia.
Mamy dwie urny. W pierwszej są 2 kule białe i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 1 czarna. Rzucamy kostką i jeżeli wypadnie szóstka, to ciągniemy kulę z urny I, w przeciwnym przypadku ciągniemy z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą?

W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych!

Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem.
Z korzenia wychodzą w dół odcinki zwane krawędziami, w takiej liczbie ile jest różnych wyników w pierwszym etapie (np. trzy).
r6.gif









Pod krawędziami piszemy wyniki pierwszego etapu, są to węzły drzewa. Obok każdej krawędzi piszemy prawdopodobieństwo otrzymania danego wyniku. W przykładzie etap I może kończyć się wynikami Formula o prawdopodobieństwach Formula
Przyjmijmy, że w etapie II mogą wystąpić dwa wyniki B i C. Rysujemy drzewo dalej. Z każdego węzła kończącego pierwszy etap wychodzą po dwie krawędzie kończące się zdarzeniami B i C.
r7.gif

 

 

 

 

 

 




Ciąg krawędzi łączący początek z jakimś węzłem końcowym to gałąź drzewa. Jedna z możliwych gałęzi jest - na rysunku wyżej - oznaczona grubszą linią.
Jakie prawdopodobieństwo przypisać krawędzi łączącej Formula?
Oczywiście Formula to prawdopodobieństwo zdarzenia B, gdy w pierwszym etapie zaszło zdarzenie Formula
Pomnóżmy prawdopodobieństwa przypisane krawędziom pogrubionej gałęzi
Formula Jest to Formula- oczywiście, zaszły zdarzenia Formula.

Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B.
r8.gif

 

 

 

 








Formula.
No i mamy po prostu wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Można było nie rysować drzewa, a posłużyć się tym wzorem.

Podsumujmy krótko.

  • zaczynamy od korzenia rysując krawędzie w dół,

  • krawędzie to odcinki zaczynające się i kończące w węzłach oraz idące zawsze w dół,

  • węzły to zdarzenia kończące etapy doświadczenia,

  • gałąź to ciąg krawędzi od korzenia do zdarzenia w ostatnim etapie,

  • prawdopodobieństwo odpowiadające gałęzi jest iloczynem prawdopodobieństw krawędzi, z których się ona składa.

Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu
Oznaczamy zdarzenia:
A - na kostce wypadło 6 oczek,
A' - na kostce nie wypadło 6 oczek,
B - wyciągnięto kulę białą,
B' = C - wyciągnięto kule czarną.
FormulaFormula

r9.gif

 

 

 

 

 

 

 

 



Formula,

Formulalub inaczej Formula

Jeszcze jeden przykład
W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy z niej kolejno dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula jest czarna?

Urna przed losowaniem:

7b

3cz

Oznaczamy zdarzenia:
Formula- w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą,
Formula- w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę czarną,
Formula- w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą,
Formula- w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną.
Formula
Formula

r10.gif

 

 

 

 

 

 

 

 





Formula


XII. Wzór Bayesa


Problem polega na tym, że znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg.

Typowe przykłady
1. Wśród 10 monet jedna ma orły po obu stronach. Wybieramy losowo jedną monetę, rzucamy 5 razy i wypada 5 orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach?
2. Pewne urządzenia są sprowadzane od 3 dostawców A,B,C, w następujących ilościach: 50%, 20% i 30%. Wadliwość urządzeń: od dostawcy A - 1%, B - 2%, C - 3%. Wybrane urządzenie okazało się wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ono od dostawcy A?

Wzór Bayesa
Niech zdarzenia B1,B2, ... ,Bn tworzą zupełny układ zdarzeń (tworzą podział przestrzeni Formula). Niech A będzie dowolnym zdarzeniem takim, że P(A)>0.
Wtedy dla każdego i mamy
Formula
gdzie (wg wzoru na prawdopodobieństwo całkowite)
Formula

Np. na diagramie
r11.gif

 

 






Formula
Prawdopodobieństwo zdarzenia Formula pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A.

Rozwiązanie przykładu 1.
Oznaczamy i opisujemy zdarzenia:
A - w 5 rzutach wypadło 5 orłów,
B1 - rzucono monetą prawidłową,
B2 - rzucono monetą z dwoma orłami.

B1 i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń, Formula, bo moneta nie może mieć jednocześnie na obu stronach orła i reszkę oraz dwa orły, a poza B1 i B2 innych możliwości nie ma.
Formula
gdyż dziewięć z dziesięciu monet jest prawdziwych, a jedna ma dwa orły.

Formula- prawdopodobieństwo, że wypadło 5 orłów w 5 rzutach, gdy rzucano monetą prawidłową. Mamy tu 5 sukcesów w schemacie 5 prób Bernoulliego z prawdopdobieństwem sukcesu Formula więc
Formula
Formula bo rzucając monetą z dwoma orłami zawsze dostajemy orła.

Drzewo dla tego doświadczenia
r12.gif














Formula
Trzeba policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia B2 (moneta z dwoma orłami) pod warunkiem, że zaszło A
Formula
Krótko - trzeba narysować drzewo i iloczyn prawdopodobieństw odpowiadających pogrubionej gałęzi podzielić przez Formula, ...

Tak rozwiążemy przykład 2.
Oznaczamy i opisujemy zdarzenia:
D - urządzenie jest wadliwe,
A - urządzenie kupiono od dostawcy A,
B - urządzenie kupiono od dostawcy B,
C - urządzenie kupiono od dostawcy C.
W języku rachunku prawdopodobieństwa, jeżeli urządzenie jest wybierane losowo,
to Formula
Jeżeli urządzenie pochodzi od dostawcy A, to prawdopodobieństwo, że jest wadliwe Formula i odpowiednio Formula
Drzewo dla tego doświadczenia
r13.gif

 

 

 

 

 

 

 



Formula

Czyli prawdopodobieństwo, że wadliwe urządzenie pochodzi od dostawcy A wynosi 0,28 (28%).



Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło