MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Klasa 2 - Funkcja kwadratowa
Nowa strona 3
 

Funkcję Formulaokreśloną wzorem
Formula
gdzie Formula to stałe należące do liczb rzeczywistych oraz Formula nazywamy funkcją kwadratową.
 


Zamiast Formula pisze się częściej Formula czyli Formula

Wyrażenie Formula występujące w definicji funkcji kwadratowej nazywamy trójmianem kwadratowym, a stałe Formulawspółczynnikami trójmianu.

Równanie Formula nazywamy równaniem kwadratowym.

Wyrażenie Formula nazywamy współczynnikiem trójmianu kwadratowego (krótko - deltą).

 



Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego

Wyrażenie Formula nazywamy postacią ogólną trójmianu, a postać Formulapostacią kanoniczną trójmianu kwadratowego.

Przejście z postaci kanonicznej do ogólnej nie sprawia trudności: podnosimy do kwadratu, mnożymy i porządkujemy składniki sumy, np.

Formula

Formula

Przejście z postaci ogólnej trójmianu do kanonicznej jest trudniejsze, dlatego w podręcznikach podaje się następujący wzór:
 

Formula
Formula

Sprowadzimy - nie korzystając z tego wzoru - do postaci kanonicznej trójmian Formula
Kolejne kroki postępowania:

1. Uzupełniamy dwa pierwsze wyrazy Formula do pełnego kwadratu. Współczynnik liczbowy przy Formula w drugim składniku dzielimy przez 2 i podnosimy wynik do kwadratu Formula Jest to liczba, którą trzeba dodać i odjąć, aby nie zmieniła się wartość wyrażenia, czyli w tym przypadku

Formula

 

2. Pierwsze trzy wyrazy zapisujemy teraz w postaci kwadratu sumy

Formula

 

Jeszcze kilka przykładów:
Formula Formula

Formula Formula

FormulaFormula
Formula

Jesteśmy przygotowani, aby wyprowadzić podany wyżej wzór.

Formula

Formula

Formula

Formula


 

Pierwiastki trójmianu kwadratowego

Trzeba rozwiązać równanie kwadratowe

Formula

Trójmian przedstawiamy w postaci kanonicznej

Formula

i po podzieleniu przez Formula otrzymujemy

Formula

 

  • Jeżeli Formula to możemy napisać Formulajako Formula i wtedy lewa strona równania jest różnicą kwadratów dwóch wyrażeń

    Formula

    co zapisujemy dalej następująco:

    Formula

    Formula

    Wprowadzamy oznaczenia:

    Formula

    Formula

    Ostatnia równość ma wtedy postać

    Formula

    Lewa strona jest równa zero dla Formula lub dla Formula mamy więc pierwiastki równania kwadratowego (gdy Formula

     

  • Jeżeli Formula to wyrażenie Formula i lewa strona równania (*) jest dodatnia dla każdego Formula Równanie nie ma wtedy rozwiązań rzeczywistych.

    Równanie kwadratowe Formula
    - ma dwa różne pierwiastki
    Formula gdy Formula
    - majeden pierwiastek
    Formula gdy Formula
    - nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, gdy Formula

Pierwiastki trójmianu kwadratowego są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej Formula



Wzory Viete'a

Jeżeli trójmian kwadratowy ma pierwiastki, czyli Formula to łatwo pokazać prostym rachunkiem, że:

Formula
Formula
równości te noszą nazwę wzorów Viete'a dla trójmiamu kwadratowego.

Ze wzorów tych możemy określić znaki pierwiastków nie rozwiązując równania.

Jeżeli:

  • Formula to pierwiastki mają różne znaki,

  • Formula oraz Formula to oba pierwiastki są dodatnie,

  • Formula oraz Formula to oba pierwiastki są ujemne.

Można też obliczyć wartości pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki równania kwadratowego, nie rozwiązując równania. Np.

  • suma kwadratów pierwiastków

    Formula

    Formula

  • suma odwrotności pierwiastków

    Formula

  • suma odwrotności sześcianów pierwiastków

    Formula

    Formula

    Formula

    Formula



Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe, postać iloczynowa trójmianu

Korzystając z wyników z punktu o pierwiastkach trójmianu otrzymujemy:

Jeżeli Formula to trójmian Formula można zapisać w postaci dwóch czynników liniowych, Formula

Jeżeli Formula to trójmian ma postać pełnego kwadratu
Formula

Jeżeli Formula to trójmian jest nierozkładalny w zbiorze liczb rzeczywistych.


Własności funkcji kwadratowej - wykres funkcji

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

 

Szczególne punkty wykresu:

  • wierzchołek w punkcie o współrzędnych:

    Formula

  • parabola przecina oś OY w punkcie (0,c),

  • jeżeli Formula to parabola przecina oś OX w punktach Formula gdzie Formula są pierwiastkami wielomianu,

  • parabola nie ma punktów wspólnych z osią OX, jeżeli Formula a gdy Formula wykres jest styczny do osi OX w punkcie Formula

Wykres jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez wierzchołek i równoległej do osi OY, inaczej - osią symetrii wykresu jest prosta o równaniu Formula

Korzystając z postaci kanonicznej wielomianu kwadratowego, wzór funkcji kwadratowej można napisać tak:

Formula

Oznacza to, że wykres funkcji Formula otrzymujemy z wykresu funkcji Formula przesuwając go o wektor

Formula

 

Formula

f_kw_2.jpg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

Formula

 

f_kw_3.jpg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Formula

 

f_kw_4.jpg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 


Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło