MATEMATYKA
Polub moją stronę:)
The Mathteacher FILM
Tomasz Grębski
Klasa 1 - Funkcja liniowa
TG
Funkcją liniową nazywamy funkcję określoną wzorem Formula, gdzie Formula są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.

Stałe Formula mają swoje nazwy:
Formula nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej (współczynnikiem kątowym), który decyduje o nachyleniu wykresu do osi X,
Formula nazywamy wyrazem wolnym (wyrazem stałym), który wyznacza punkt przecięcia wykresu z osią Y.

Postać ogólna funkcji liniowej

Formula, gdzie A, B, C to współczynniki liczbowe spełniające warunek Formula

 

 

 

 

Własności funkcji liniowej

  • Jeżeli Formula to funkcja liniowa jest różnowartościowa, a jej zbiorem wartości (dziedziną) jest cały zbiór Formula
    Jeżeli Formula to funkcja jest funckją stałą i ma postać Formuladla każdego Formula a jej zbiorem wartości jest zbiór jednoelementowy Formula

  • Funkcja liniowa jest ciągła i różniczkowalna. Jej pochodna Formula

     

Rysowanie wykresu funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej Formula jest prosta przechodząca przez punkt (0,b) i nachylona do osi X pod kątem Formula takim, że Formula

f_1.gif


Dynamiczny aplet, zmieniaj parametry...

Jeśli obraz nie mieści się na ekranie wciśnij i trzymaj SHIFT i na myszce użyj w tym czasie przycisku do przewijania.

 



Prosta będąca wykresem funkcji liniowej Formula przechodzi przez środek układu współrzędnych (0, 0).

Prosta będąca wykresem funkcji liniowej Formula przechodzi przez punkt (0, b) i jest równoległa do prostej będącej wykresem funkcji Formula

 

W praktyce, aby narysować wykres funkcji liniowej należy wyznaczyć współrzędne dowolnych dwóch punktów, które należą do prostej i poprowadzić przez te punkty prostą.


Miejsce zerowe funkcji liniowej

Jeżeli Formula, to funkcja liniowa jest funkcją różnowartościową i posiada jedno miejsce zerowe Formula, gdzie Formula.

f_2.gif

Monotoniczności funkcji liniowej na podstawie wzoru i wykresu

Wykresy funkcji liniowej w zależności od współczynnika kierunkowego Formula

rosn.gif

 

Funkcję liniową nazywamy rosnącą, jeżeli Formula czyli wraz ze wzrostem argumentów rośnie wartość funkcji.

malej.gif

 

Funkcję liniową nazywamy malejącą, jeżeli Formula czyli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.


stal.gif


Funkcja jest funkcją stałą, jeżeli Formula czyli wraz ze wzrostem argumentów wartość funkcji nie ulega zmianie (jest stała). Jej wzór przyjmuje wówczas postać Formula

 

Dodatkowe informacje

Warunek równoległości dwóch prostych

Dwie proste dane wzorami Formula i Formularównoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek
 

Formula


 

Formula

 

f_8.gif

 

Warunek prostopadłości dwóch prostych

Dwie proste dane wzorami Formula i Formulaprostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek
 

Formula


 

Formula

 

f_9.gif


Poniżej dynamiczny aplet demonstrujący relację między dwoma prostymi, przy zmianie ich współczynników kierunkowych i wyrazów wolnych. Manipuluj tymi parametrami tak, aby uzyskać proste prostopadłe. Zwróć uwagę na to jak zachowuje się iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych, szczególnie w momencie gdy są one prostopadłe.

Jeśli obraz nie mieści się na ekranie wciśnij i trzymaj SHIFT i na myszce użyj w tym czasie przycisku do przewijania.

 

 


Równanie prostej przechodzącej przez jeden punkt Formula
 

Formula


Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty Formula i Formula
 

Formula


Odległość punktu od prostej o równaniu w postaci ogólnej Formula
 

Formula

 


 

Przykłady funkcji liniowych

 

Przykład 1. Formula

Współczynnik kierunkowy Formula, więc funkcja jest rosnąca.
Wyraz wolny Formula, więc wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,5).
Miejsce zerowe funkcji to punkt (-5,0), gdyż Formula

Zatem wykres funkcji przechodzi przez dwa punkty (0,5) i (-5,0).Nanosimy je na układ współrzędnym, następnie łączymy prostą i otrzymujemy wykres funkcji.
f_4.gif

 

Przykład 2. Formula

Współczynnik kierunkowy Formula, więc funkcja jest rosnąca.
Wyraz wolny Formula, więc wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,0).
Miejsce zerowe funkcji to punkt (0,0), gdyż Formula

Zatem wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,0). Ta informacja to za mało, aby narysować wykres funkcji. Należy znaleźć kolejny, inny od poprzedniego, punkt który spełnia równanie funkcji.

Obliczmy np. wartość funkcji dla x=2: Formula.

Otrzymaliśmy punkt (2,4). Nanosimy oba punkty na układ współrzędnym, następnie łączymy prostą i otrzymujemy wykres funkcji.

fl_p2.gif

 

Przykład 3. Formula

Współczynnik kierunkowy Formula, więc funkcja jest malejąca.
Wyraz wolny b=3, więc wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,3).
Miejsce zerowe funkcji to punkt (3,0), gdyż Formula

Zatem wykres funkcji przechodzi przez dwa punkty (0,3) i (3,0).Nanosimy je na układ współrzędnym, następnie łączymy prostą i otrzymujemy wykres funkcji.

fl_p3.gif

 

Przykład 4.Formula

Współczynnik kierunkowy Formula więc funkcja jest rosnąca.
Wyraz wolny Formula, więc wykres funkcji przechodzi przez punkt (0,2).
Miejsce zerowe funkcji to punkt (-3,0), gdyż Formula

Zatem wykres funkcji przechodzi przez dwa punkty (0,2) i (-3,0).Nanosimy je na układ współrzędnym, następnie łączymy prostą i otrzymujemy wykres funkcji.

fl_p4.gif

 



Podziel się z innymi: Facebook Google Tweet This

POLECAM
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



TEORIA
Logowanie
Nazwa użytkownika

Hasło



Nie możesz się zalogować?
Poproś o nowe hasło